データが正規分布と対数正規分布のサンプルである相対尤度を計算するアルゴリズムが必要

値のセットがあり、ガウス（正規）分布からサンプリングされたか、対数正規分布からサンプリングされた可能性が高いかどうかを知りたいとしましょう。

もちろん、理想的には、母集団または実験誤差の原因について何かを知っているので、質問に答えるのに役立つ追加情報があります。しかし、ここでは、数字のセットのみがあり、他の情報はないと仮定します。ガウス分布からのサンプリングと対数正規分布からのサンプリングのどちらがより可能性が高いでしょうか？どれくらい可能性がありますか？私が望んでいるのは、2つのモデルから選択するアルゴリズムで、できればそれぞれの相対的な可能性を定量化することです。

各分布（正規分布または対数正規分布）を最尤法でデータに適合させ、各モデルの下で対数尤度を比較することにより、分布タイプを最適に推測できます（最高の対数尤度を持つモデルが最適です）。たとえば、Rの場合：

# log likelihood of the data given the parameters (par) for 
# a normal or lognormal distribution
logl <- function(par, x, lognorm=F) {
    if(par[2]<0) { return(-Inf) }
    ifelse(lognorm,
    sum(dlnorm(x,par[1],par[2],log=T)),
    sum(dnorm(x,par[1],par[2],log=T))
    )
}

# estimate parameters of distribution of x by ML 
ml <- function(par, x, ...) {
    optim(par, logl, control=list(fnscale=-1), x=x, ...)
}

# best guess for distribution-type
# use mean,sd of x for starting parameters in ML fit of normal
# use mean,sd of log(x) for starting parameters in ML fit of lognormal
# return name of distribution type with highest log ML
best <- function(x) {
    logl_norm <- ml(c(mean(x), sd(x)), x)$value
        logl_lognorm <- ml(c(mean(log(x)), sd(log(x))), x, lognorm=T)$value
    c("Normal","Lognormal")[which.max(c(logl_norm, logl_lognorm))]
}

次に、正規分布から数値を生成し、MLによる正規分布に適合させます。

set.seed(1)
x = rnorm(100, 10, 2)
ml(c(10,2), x)

生産物：

$par
[1] 10.218083  1.787379

$value
[1] -199.9697
...

正規分布と対数正規分布のML適合の対数尤度を比較します。

ml(c(10,2), x)$value # -199.9697
    ml(c(2,0.2), x, lognorm=T)$value # -203.1891
best(x) # Normal

対数正規分布で試してください：

best(rlnorm(100, 2.6, 0.2)) # lognormal

n、mean、およびsdに応じて、割り当ては完全ではありません。

> table(replicate(1000, best(rnorm(500, 10, 2))))

Lognormal    Normal 
        6       994 
> table(replicate(1000, best(rlnorm(500, 2.6, 0.2))))

Lognormal    Normal 
      999         1 

問題に対するベイズアプローチは、モデル上事後確率を考慮することであろうデータポイントのセット所与X = { X 1、。。。、x N }、$M \in \{ \text{Normal}, \text{Log-normal} \}$$X = \{ x_1, ..., x_N \}$

$$P(M \mid X) \propto P(X \mid M) P(M).$$

難しい部分はなっている周辺尤度を、

$$P(X \mid M) = \int P(X \mid \theta, M) P(\theta \mid M) \, d\theta.$$

$p(\theta \mid M)$$X$$Y = \{ \log x_1, ..., \log x_N$$Y$$X$、

$$P(X \mid M = \text{Log-Normal}) = P(Y \mid M=\text{Normal}) \cdot \prod_i \left| \frac{1}{x_i} \right|.$$

$P(\theta \mid M)$$P(\sigma^2, \mu \mid M=\text{Normal})$$P(M)$

例：

$P(\mu, \sigma^2 \mid M = \text{Normal})$$m_0 = 0, v_0 = 20, a_0 = 1, b_0 = 100$

Murphy（2007）（式203）によると、正規分布の限界尤度は次のようになります。

$$P(X \mid M = \text{Normal}) = \frac{|v_N|^\frac{1}{2}}{|v_0|^\frac{1}{2}} \frac{b_0^{a_0}}{b_n^{a_N}} \frac{\Gamma(a_N)}{\Gamma(a_0)} \frac{1}{\pi^{N/2}2^N}$$

$a_N, b_N,$$v_N$$P(\mu, \sigma^2 \mid X, M = \text{Normal})$

$$\begin{align} v_N &= 1 / (v_0^{-1} + N), \\ m_N &= \left( v_0^{-1}m_0 + \sum_i x_i \right) / v_N, \\ a_N &= a_0 + \frac{N}{2}, \\ b_N &= b_0 + \frac{1}{2} \left( v_0^{-1}m_0^2 - v_N^{-1}m_N^2 + \sum_i x_i^2 \right). \end{align}$$

I use the same hyperparameters for the log-normal distribution,

$$P(X \mid M = \text{Log-normal}) = P(\{\log x_1, ..., \log x_N \} \mid M = \text{Normal}) \cdot \prod_i \left|\frac{1}{x_i}\right|.$$

For a prior probability of the log-normal of $0.1$, $P(M = \text{Log-normal}) = 0.1$, and data drawn from the following log-normal distribution,

the posterior behaves like this:

The solid line shows the median posterior probability for different draws of $N$ data points. Note that for little to no data, the beliefs are close to the prior beliefs. For around 250 data points, the algorithm is almost always certain that the data was drawn from a log-normal distribution.

When implementing the equations, it would be a good idea to work with log-densities instead of densities. But otherwise it should be pretty straight forward. Here is the code that I used to generate the plots:

https://gist.github.com/lucastheis/6094631

It sounds like you are looking for something quite pragmatic to help analysts who probably aren't professional statisticians and need something to prompt them into doing what should be standard exploratory techniques such as looking at qq plots, density plots, etc.

In which case why not simply do a normality test (Shapiro-Wilk or whatever) on the original data, and one on the log transformed data, and if the second p value is higher raise a flag for the analyst to consider using a log transform? As a bonus, spit out a 2 x 2 graphic of the density line plot and qqnorm plot of the raw and the transformed data.

This won't technically answer your question about the relative likelihood but I wonder if it is all that you need.