統計学習の要素の演習2.2

10

教科書は最初にいくつかの2クラスデータを生成します。

ここに画像の説明を入力してください

それは与える：

ここに画像の説明を入力してください

そしてそれは尋ねます：

ここに画像の説明を入力してください

私はこれをこのグラフィカルモデルで最初にモデル化することでこれを解決しようとします：

ここに画像の説明を入力してください

ここで、はラベル、 $c$ 選択された平均値の指標である、およびのデータポイントです。これは $h\,(1\le h \le 10)$ $m_h^c$ $x$

\begin{aligned} Pr (x ∣ m_{h}^{c}) = & N (m_{h}^{c}, I / 5) \\ Pr (m_{h}^{c} ∣ h, c = b l u e) = & N ((1, 0)^{T}, I) \\ Pr (m_{h}^{c} ∣ h, c = o r a n g e) = & N ((0, 1)^{T}, I) \\ Pr (h) = & \frac{1}{10} \\ Pr (c) = & \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align*} \Pr(x\mid m_h^c) =& \mathcal{N}(m_h^c,\mathbf{I}/5)\\ \Pr(m_h^c\mid h,c=\mathrm{blue}) =& \mathcal{N}((1,0)^T,\mathbf{I})\\ \Pr(m_h^c\mid h,c=\mathrm{orange}) =& \mathcal{N}((0,1)^T,\mathbf{I})\\ \Pr(h) =& \frac{1}{10}\\ \Pr(c) =& \frac{1}{2} \end{align*}$

$\{x:\Pr(c=\mathrm{blue}\mid x)=\Pr(c=\mathrm{orange}\mid x)\}$

\begin{aligned} Pr (c ∣ x) = & \frac{Pr (x ∣ c) Pr (c)}{\sum_{c} Pr (x ∣ c) Pr (c)} \\ Pr (x ∣ c) = & \sum_{h} \int_{m_{h}^{c}} Pr (h) Pr (m_{h}^{c} ∣ h, c) Pr (x ∣ m_{h}^{c}) \end{aligned}

$\begin{align*} \Pr(c\mid x) =& \frac{\Pr(x\mid c)\Pr(c)}{\sum_c\Pr(x\mid c)\Pr(c)}\\ \Pr(x\mid c) =& \sum_h\int_{m_h^c}\Pr(h)\Pr(m_h^c\mid h,c)\Pr(x\mid m_h^c) \end{align*}$

$x=y$ $m_h^c$ $40$

それで私は何か誤解していますか？ありがとうございました。

self-study bayesian

— ジユアン
ソース

8

$m_k$ $m_k$ $x=y$

$m_k$ $x$ $y$

このコードはそれを突き刺したものです。IIRC実際には、モダンアプライドスタティスティックスにSを使用して決定境界を計算するコードがありますが、今のところ、そのような方法はありません。

# for dmvnorm/rmvnorm: multivariate normal distribution
library(mvtnorm)

# class-conditional density given mixture centers
f <- function(x, m)
{
    out <- numeric(nrow(x))
    for(i in seq_len(nrow(m)))
        out <- out + dmvnorm(x, m[i, ], diag(0.2, 2))
    out
}

# generate the class mixture centers
m1 <- rmvnorm(10, c(1,0), diag(2))
m2 <- rmvnorm(10, c(0,1), diag(2))
# and plot them
plot(m1, xlim=c(-2, 3), ylim=c(-2, 3), col="blue")
points(m2, col="red")

# display contours of the class-conditional densities
dens <- local({
    x <- y <- seq(-3, 4, len=701)
    f1 <- outer(x, y, function(x, y) f(cbind(x, y), m1))
    f2 <- outer(x, y, function(x, y) f(cbind(x, y), m2))
    list(x=x, y=y, f1=f1, f2=f2)
})

contour(dens$x, dens$y, dens$f1, col="lightblue", lty=2, levels=seq(.3, 3, len=10),
        labels="", add=TRUE)

contour(dens$x, dens$y, dens$f2, col="pink", lty=2, levels=seq(.3, 3, len=10),
        labels="", add=TRUE)

# find which points are on the Bayes decision boundary
eq <- local({
    f1 <- dens$f1
    f2 <- dens$f2
    pts <- seq(-3, 4, len=701)
    eq <- which(abs((dens$f1 - dens$f2)/(dens$f1 + dens$f2)) < 5e-3, arr.ind=TRUE)
    eq[,1] <- pts[eq[,1]]
    eq[,2] <- pts[eq[,2]]
    eq
})
points(eq, pch=16, cex=0.5, col="grey")

結果：

ここに画像の説明を入力してください

— ホン大井
ソース

3

実際、この本はこの問題の分析的解決策を提供するように求めています。そして、はい、あなたは境界を条件付ける必要がありますが、40の手段ではありません：それらを正確に知ることは決してありません。代わりに、表示する200のデータポイントに条件を付ける必要があります。したがって、200個のパラメーターが必要になりますが、合計を使用するため、答えはそれほど複雑に見えません。

私はこの式を導き出すことはできないので、分析ソリューションが醜いものである必要がないことを認識し、それをグーグルで検索することを認めているだけです。幸いにも、それ~~は作者~~によっていくつかの素晴らしい人々によって提供されています、6-7ページ。

— 最高
ソース

2

上記のコードに遭遇したいのですが。以下のようにいくつかの代替コードを作成するのを見つけました...

set.seed(1)
library(MASS)

#create original 10 center points/means for each class 
I.mat=diag(2)
mu1=c(1,0);mu2=c(0,1)
mv.dist1=mvrnorm(n = 10, mu1, I.mat)
mv.dist2=mvrnorm(n = 10, mu2, I.mat)

values1=NULL;values2=NULL

#create 100 observations for each class, after random sampling of a center point, based on an assumed bivariate probability distribution around each center point  
for(i in 1:10){
  mv.values1=mv.dist1[sample(nrow(mv.dist1),size=1,replace=TRUE),]
  sub.mv.dist1=mvrnorm(n = 10, mv.values1, I.mat/5)
  values1=rbind(sub.mv.dist1,values1)
}
values1

#similar as per above, for second class
for(i in 1:10){
  mv.values2=mv.dist2[sample(nrow(mv.dist2),size=1,replace=TRUE),]
  sub.mv.dist2=mvrnorm(n = 10, mv.values2, I.mat/5)
  values2=rbind(sub.mv.dist2,values2)
}
values2

#did not find probability function in MASS, so used mnormt
library(mnormt)

#create grid of points
grid.vector1=seq(-2,2,0.1)
grid.vector2=seq(-2,2,0.1)
length(grid.vector1)*length(grid.vector2)
grid=expand.grid(grid.vector1,grid.vector2)



#calculate density for each point on grid for each of the 100 multivariates distributions
prob.1=matrix(0:0,nrow=1681,ncol=10) #initialize grid
for (i in 1:1681){
  for (j in 1:10){
    prob.1[i,j]=dmnorm(grid[i,], mv.dist1[j,], I.mat/5)  
  }
}
prob.1
prob1.max=apply(prob.1,1,max)

#second class - as per above
prob.2=matrix(0:0,nrow=1681,ncol=10) #initialize grid
for (i in 1:1681){
  for (j in 1:10){
    prob.2[i,j]=dmnorm(grid[i,], mv.dist2[j,], I.mat/5)  
  }
}
prob.2
prob2.max=apply(prob.2,1,max)

#bind
prob.total=cbind(prob1.max,prob2.max)
class=rep(1,1681)
class[prob1.max<prob2.max]=2
cbind(prob.total,class)

#plot points
plot(grid[,1], grid[,2],pch=".", cex=3,col=ifelse(class==1, "coral", "cornflowerblue"))

points(values1,col="coral")
points(values2,col="cornflowerblue")

#check - original centers
# points(mv.dist1,col="coral")
# points(mv.dist2,col="cornflowerblue")

— user1885116
ソース