月次収益の分散に基づく年次収益の分散

私は時系列の財務的リターンの全体的な分散/標準誤差の事柄を理解しようとしています、そして私は行き詰まっていると思います。期待値1.00795、分散0.000228（標準偏差は0.01512）の一連の月次株価データ（としましょう）があります。年間リターンの最悪のケースを計算しようとしています（たとえば、期待値から標準誤差の2倍を引いたとしましょう）。それを行う最善の方法はどちらですか？A。1か月分（）を計算し、それを12倍します（= 0.7630）。B。月が独立していると仮定して、 12回定義し、期待値を見つけます$X$

$\mu_X-2\cdot \sigma_X=0.977$

$Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$$E[Y]=(E[X])^{12}$）と分散。この場合の標準偏差は0.0572であり、期待値から標準偏差の2倍を引いた値が0.9853です。C。月次標準偏差にを乗算して年間偏差を取得します。これを使用して年間最悪のケースを見つけます値（）。0.9949と表示されます。 どちらが正しいですか？予想される年間値からstdの2倍を計算するには、月次データについてのみこれらのプロパティがわかっている場合、正しい方法は何ですか？（一般的に、 12回、場合、$\operatorname{var}[Y]=(\operatorname{var}[X]+(E[X])^2)^{12} - ((E[X]^2)^{12}$

$\sqrt{12}$$\mu - 2\cdot \sigma$

$Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$$\mu_X$$\sigma_X$知られている、何ですか？）$\mu_Y-2\cdot \sigma_Y$

比例リターンをとして定義する場合、は価格ですが、毎日のリターンでは、比例リターンに（作業数1年の日数）とによる標準偏差で年換算します。これはケースCに対応します。ここでのポイントは、意味のある年間の数字を日次の数字から報告できるように再スケーリングすることです（ただし、これを使用して、日次から得られたメトリックを月次から得られたメトリックと厳密に比較することはしません）。一般に、すべての計算を行い、データを収集した頻度で（ケースでは毎月）すべての決定を行います。$\Delta P/P = (P_{t+1}-P_t)/P_t$$P$$250$$\sqrt{250}$

理論的に正しいアプローチは、log returns =を使用することです（自然対数を使用）。対数リターンの合計はリターンの積の対数であるため、確率変数の合計の期待値の式を正しく使用できます。$\log(P_{t+1}/P_t)$

さらに、ログの戻り値を使用する場合、中央制限の定理は、ログの戻り値が正規分布であるという理論的な正当性を与えます（本質的に、中央制限の定理は、独立変数の合計が合計のランダム変数の数が増えるにつれて正規分布になる傾向があると言っています）。これは、割り当てることができる確率をより少ないリターンを見に（：確率は、正規分布の累積分布関数で与えられる。ログリターンが正規分布である場合、リターンは対数正規分布であると言えます。これは、有名なブラックショールズオプションの価格計算式の導出に使用された仮定の1つです。$\mu - 2\sigma$$\Phi(-2) \simeq 0.023)$

注意すべき点の1つは、比例リターンが小さい場合、比例リターンはログリターンにほぼ等しいということです。これは、自然対数のテイラー級数が与えられるためです。、および比例リターンが小さい場合は、、などの項を無視できます。この近似により、比例リターンで作業し、平均におよびによる標準偏差！$\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \ldots$$x$$x^2$$x^3$$n$$\sqrt{n}$

あなたはウェブ上でさらなる情報を見つけることができるはずです。たとえば、「ログリターン」を検索してメモリを更新しようとしたところ、最初のヒットはかなり良さそうでした。

Aが間違っている場合に何を入れたか。残りの投稿では、（i）ランダム変数の合計の期待値はそれらの期待値の合計であり、（ii）独立したランダム変数の合計の分散はそれらの分散の合計であるという事実を使用します。（ii）から、標準偏差持つ独立して同一に分布した確率変数の標準偏差はます。しかし、ケースAでは、平均と標準偏差に掛けていますが、平均にはを掛け、標準偏差掛ける必要があります$n$$\sigma$$\sqrt{n}\sigma$$\mu_X$$\sigma_X$$n$$n$$\sqrt{n}$。

@whuberのコメントで指摘されているように、微妙ですが重要な点は、ルール（ii）には相関が必要であることです。これは、時系列の場合、シリアル相関がないことを意味します（通常は真実ですが、確認する価値があります）。独立性の要件は、比例とログの両方の場合に当てはまります。

（ランダム変数の積であるケースBは以前に見たことがありません。このアプローチが一般的に使用されているとは思いません。計算を詳細に検討したことはありませんが、数値はほぼ正しく、式はウィキペディアで見つけることが。私の意見では、このアプローチは、ログの戻りを使用する場合と比較して、より多くの比例リターンを使用してに関与した近似や対数リターンを使用しての理論的に音のアプローチのいずれかよりも複雑たくさんいるようだ。そして、あなたはについて何を言うことができる分布のY？たとえば、最悪のケースのリターンに確率を割り当てるにはどうすればよいですか？）