Rademacher確率変数の積の合計

してみましょう値取って独立な確率変数であるまたは確率0.5それぞれで。合計ます。確率を上限にしたいと思います。私が今持っている最高の境界はで、cは普遍定数です。これは、単純なチャーノフ境界を適用することにより、確率Pr（| x_1 + \ dots + x_n | <\ sqrt {t}）およびPr（| y_1 + \ dots + y_n | <\ sqrt {t}）の下限を設定することで実現されます。この限界よりもはるかに優れたものを手に入れたいと思いますか？まず第一に、私は少なくとも得ることができます$x_1 \ldots x_a,y_1 \ldots y_b$$+1$$-1$$S = \sum_{i,j} x_i\times y_j$$P(|S| > t)$$2e^{-\frac{ct}{\max(a,b)}}$$c$$Pr(|x_1 + \dots + x_n|<\sqrt{t})$$Pr(|y_1 + \dots + y_n|<\sqrt{t})$$e^{-c\frac{t}{\sqrt{ab}}}$。サブガウステールを取得できる場合、おそらくそれが最善ですが、それは期待できますか（そうは思わないが、引数について考えることはできません）。

代数的関係

$$S = \sum_{i,j} x_i y_j = \sum_i x_i \sum_j y_j$$

は、2つの独立した和の積としてを示します。なぜならとある独立したベルヌーイ変量、二項である可変れます2倍にシフトされました。従って、その平均であるとその分散です。同様に、の平均は、分散はです。定義して今すぐ標準化しましょう$S$$(x_i+1)/2$$(y_j+1)/2$$(1/2)$$X=\sum_{i=1}^a x_i$$(a, 1/2)$$0$$a$$Y=\sum_{j=1}^b y_j$$0$$b$

$$X_a = \frac{1}{\sqrt a} \sum_{i=1}^a x_i,$$

どこからでも

$$S = \sqrt{ab} X_a X_b = \sqrt{ab}Z_{ab}.$$

高い（および定量化可能な）精度で、が大きくにつれて、は標準正規分布に近づきます。 したがって、を2つの標準法線の積の倍として近似します。$a$$X_a$$S$$\sqrt{ab}$

次のステップは、

$$Z_{ab} = X_aX_b = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{X_a+X_b}{\sqrt 2}\right)^2 - \left(\frac{X_a-X_b}{\sqrt 2}\right)^2 \right) = \frac{1}{2}\left(U^2 - V^2\right).$$

は、独立した標準正規変数およびの二乗の差の倍数です。の分布は分析的に計算できます（特性関数を反転することにより）。そのpdfは、ゼロ次のベッセル関数比例します。この関数は指数関数の裾を持っているので、大きなとと固定された場合、質問で与えられたよりもへのより良い近似はないと結論付けます。$U$$V$$Z_{ab}$$K_0(|z|)/\pi$$a$$b$$t$${\Pr}_{a,b}(S \gt t)$

と 1つが（少なくとも）大きくない場合、または近いの尾部の点にある場合、改善の余地があります。の分布を直接計算すると、よりもはるかに大きく、おおよそを超えた点で、テール確率が漸減する曲線が示されます。これらの対数線形のCDFのプロットの種々の値に対する（タイトルに与えられた）と（同じ値よりおよそ至るまで、各プロットに色で区別）で何が起こっているかを示しています。参考までに、制限グラフ$a$$b$$S$$\pm a b$$S$$\sqrt{ab}$$\sqrt{ab\max(a,b)}$$S$$a$$b$$a$$K_0$分布は黒で示されています。（は中心に対称なので、なので、負の尾部を見るだけで十分です。）$S$$0$$\Pr(S \gt t) = \Pr(-S \lt -t)$

大きくなる、CDFは、基準線に近い成長します。$b$

この曲率を特徴付けて定量化するには、二項変量の正規近似のより詳細な分析が必要になります。

ベッセル関数近似の品質は、これらの拡大された部分（各プロットの右上隅）でより明確になります。私たちはすでにかなりのところまで進んでいます。対数の垂直スケールは実質的な違いを隠すことができますががに到達までに、近似は適切です。$a$$500$$|S| \lt a\sqrt{b}$

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の分布を計算するRコード$S$

以下の実行には数秒かかります。（これは、36個の組み合わせのために数百万確率演算および遅いマシンで。）、省略より大きい一つまたは二つの値とから下部プロット制限を増やすの周りに。$a$$b$ab$10^{-300}$$10^{-160}$

s <- function(a, b) {
  # Returns the distribution of S as a vector indexed by its support.
  products <- factor(as.vector(outer(seq(-a, a, by=2), seq(-b, b, by=2))))
  probs <- as.vector(outer(dbinom(0:a, a, 1/2), dbinom(0:b, b, 1/2)))
  tapply(probs, products, sum)
}

par(mfrow=c(2,3))
b.vec <- c(51, 101, 149, 201, 299, 501)
cols <- terrain.colors(length(b.vec)+1)
for (a in c(50, 100, 150, 200, 300, 500)) {
  plot(c(-sqrt(a*max(b.vec)),0), c(10^(-300), 1), type="n", log="y", 
       xlab="S/sqrt(ab)", ylab="CDF", main=paste(a))
  curve(besselK(abs(x), 0)/pi, lwd=2, add=TRUE)
  for (j in 1:length(b.vec)) {
    b <- b.vec[j]
    x <- s(a,b)
    n <- as.numeric(names(x))
    k <- n <= 0
    y <- cumsum(x[k])
    lines(n[k]/sqrt(a*b), y, col=cols[j], lwd=2)
  }
}

コメント：質問でどのようなrvが考慮されるかをよりよく反映するために、タイトルを編集しました。誰でも自由に再編集できます。

動機：分布を導出できるのであれば、上限を決める必要はないと思い。（更新： Whuberのコメントと回答を参照できません）。$|S_{ab}|$

意味。がおよびと同じ分布であることを確認するのは簡単です。モーメント生成関数は$Z_k = X_iY_j,\;\; k=1,...,ab$$Z$$X$$Y$

$$M_Z(t) = E[e^{zt}]=\frac 12e^{-t}+\frac 12e^t = \cosh(t)$$

さらに、は、最初はペアごとに独立しています。変数（指数はもちろん任意です）は、対応する確率をサポートしています。そのモーメント生成関数は$Z$$W = Z_1+Z_2$$\{-2,0,2\}$$\{1/4,1/2,1/4\}$

$$M_{W}(t) = E[e^{(z_1+z_2)t}] = \frac 14e^{-2t}+\frac 12 +\frac 14e^{2t}=\\ =\frac 14(e^{-2t}+1)+ \frac 14(e^{2t}+1) = \frac 14 2e^{-t}\cosh(t)+\frac 14 2e^{t}\cosh(t)\\ =\cosh(t)\cdot \cosh(t) = M_{Z_1}(t)M_{Z_2}(t)$$

次のように、完全な独立性がます（賢明な人には明らかですか？）：この部分では、ます。次に、チェーンルール $Z_{ij}=X_iY_j$

$$P[Z_{ab},...,Z_{11}] = P[Z_{ab}\mid Z_{a,b-1},...,Z_{11}]\cdot ...\cdot P[Z_{13}\mid Z_{12},Z_{11}]\cdot P[Z_{12}\mid Z_{11}]\cdot P[Z_{11}]$$

ペアワイズ独立性により、ます。 考え ます。とは依存する独立条件であるため、 ペアワイズ独立による2番目の等式。しかし、これは$P[Z_{12}\mid Z_{11}] = P[Z_{12}]$
$P[Z_{13},Z_{12}\mid Z_{11}]$$Z_{13}$$Z_{12}$$Z_{11}$

$$P[Z_{13}\mid Z_{12},Z_{11}] = P[Z_{13}\mid Z_{11}] = P[Z_{13}]$$

$$P[Z_{13}\mid Z_{12},Z_{11}]\cdot P[Z_{12}\mid Z_{11}]\cdot P[Z_{11}] = P[Z_{13},\,Z_{12},\,Z_{11}] = P[Z_{13}]\cdot P[Z_{12}]\cdot P[Z_{11}]$$

その他（私は思う）。（更新：私は間違っていると思います。独立性はおそらくすべてのトリプレットには当てはまりますが、束全体には当てはまりません。したがって、以下は単純なランダムウォークの分布の導出であり、質問に対する正しい答えではありません-Wolfiesを参照してください。 Whuberの回答）。

完全な独立性が確かに成立する場合、iidの二分法のrvの合計の分布を導出するタスクがあります

$$S_{ab}=\sum_{k=1}^{ab}Z_k$$

これは単純なランダムウォークのように見えますが、シーケンスとしての後者の明確な解釈はありません。

場合のサポート偶数の整数であろう、ゼロを含めている場合の支持体奇数の整数であろう、ゼロなし。 $ab=even$$S$$[-ab,...,ab]$$ab=odd$$S$$[-ab,...,ab]$

場合を扱います。 示すの数であるとの値を取る。次に、のサポートはと書くことができます。任意のについて、一意の値を取得します。さらに、対称確率と独立性（または単に交換可能性？）により、変数 z_すべての可能な共同実現は、確率が等しくなります。したがって、カウントすると、確率質量関数は、$ab=odd$
$m$$Z$$-1$$S$$S\in \{ab-2m;m\in \mathbb Z_+\cup\{0\};m\le ab\}$$m$$S$$Z$$\{Z_1=z_1,..., Z_{ab}=z_{ab}\}$$S$

$$P(S=ab-2m)={ab \choose m}\cdot \frac 1{2^{ab}}, \qquad 0\le m\le ab$$

定義、および建設によって奇数、との支援の典型的な要素、我々は持っています$s\equiv ab-2m$$S$

$$P(S=s)={ab \choose \frac{ab-s}{2}}\cdot \frac 1{2^{ab}}$$

移動しています 、場合、確率質量をゼロに割り当てずに、の分布がゼロの周りで対称であるため、分布 縦軸の周りに密度グラフを「折りたたむ」ことで得られ、基本的に正の値の確率を2倍にします。$|S|$$ab=odd$$S$$|S|$

$$P(|S|=|s|)={ab \choose \frac{ab-s}{2}}\cdot \frac 1{2^{ab-1}}$$

次に、分布関数は

$$P(|S|\le|s|)=\frac 1{2^{ab-1}}\sum_{1\le i\le s,\, i\,odd}{ab \choose \frac{ab-i}{2}}$$

したがって、任意の実数、 について、必要な確率 $t$$1\le t<ab$

$$P(|S|> t) = 1- P(|S|\le t) = 1-\frac 1{2^{ab-1}}\sum_{1\le i\le t,\, i\,odd}{ab \choose {\frac{ab-i}{2}}}$$

表示は、サポートに含まれる値までのみ合計が実行されることを保証することに注意してください-我々が設定された場合、例えば、、まだ最大実行する奇数になるように制約されているので整数の上に、、。$i=odd$$|S|$$t=10.5$$i$$9$

回答ではなく、コメントボックスに収まらない長すぎるAlecosの興味深い回答に関するコメント。

してみましょう、独立しRademacherのランダム変数である、としましょう、独立しRademacherのランダム変数です。Alecosは次のように述べています。$(X_1, ..., X_a)$$(Y_1, ..., Y_b)$

$$S_{ab}=\sum_{k=1}^{ab}Z_k \qquad \text{where} \qquad Z_k = X_i Y_j$$

「… 単純なランダムウォークのように見える」これが単純なランダムウォークの場合、の分布は0を中心に対称的な「ベル型の単峰性」になります。$S$

これが単純なランダムウォークではないことを説明するために、以下の簡単なモンテカルロ比較を示します。

• 三角ドット：および与えられのpmfのモンテカルロシミュレーション$S$$a = 5$$b = 7$
• 丸い点：ステップの単純なランダムウォークのモンテカルロシミュレーション$n = 35$

明らかに、は単純なランダムウォークではありません。また、Sはすべての偶数（または奇数）整数に分布していないことに注意してください。$S$

モンテカルロ

以下は、と指定し、合計単一の反復を生成するために使用される（Mathematicaの）コードです。$S$$a$$b$

 SumAB[a_, b_] :=  Outer[Times, RandomChoice[{-1, 1}, a], RandomChoice[{-1, 1}, b]] 
                         // Flatten // Total 

次に、500,000のようなパス、たとえばおよび、次のように生成できます。$a = 5$$b = 7$

 data57 = Table[SumAB[5, 7], {500000}];

このと組み合わせをサポートするドメインは次のとおりです。$a$$b$

{-35, -25, -21, -15, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 25, 35}