多項式対比変数の計算

カテゴリー変数（因子）を直交多項式対比変数のセットに効率的に再コード化する方法を教えてください。

多くのタイプのコントラスト変数（たとえば、偏差、単純、ヘルマートなど）の場合、パスは次のとおりです。

1. タイプに対応するコントラスト係数行列を作成します。
2. コードの行列を取得するには、それを逆または一般化逆にします。

例えば：

Suppose there is 3-group factor and we want to recode it into a set of deviation  contrast variables.
The last group is treated as reference. Then the contrast coefficients matrix L is

         Group1 Group2 Group3
   var1   2/3   -1/3   -1/3
   var2  -1/3    2/3   -1/3

and ginv(L) is then the sought-for coding matrix

         var1 var2
  Group1   1    0
  Group2   0    1
  Group3  -1   -1

(We might also use inv(L) instead if we add a row for constant, equal to 1/3, at the head of L.)

多項式コントラスト変数を取得するための同じまたは類似の方法はありますか？はいの場合、どの行列Cがどのようになり、どのように構成するか？まだ何がない場合である方法が効率的に多項式のコントラスト変数を計算するために（例えば行列代数によります）。

このトピックに関する私の以前の投稿のセグエとして、線形代数と関連するR関数の背後にある関数の（不完全ではありますが）暫定的な探索について共有したいと思います。これは進行中の作業になるはずです。

関数の不透明性の一部は、Householder 分解の「コンパクト」形式に関係しています。ハウスホルダ分解の背後にある考え方は、単位ベクトルによって決定超平面を横切るベクトルに反映することであるU下の図のように、しかし、元の行列の各列ベクトル突出するように意図的な方法で、この平面を選ぶAを上にE 1標準単位ベクトル。正規化されたノルム-2 1ベクトルuを使用して、さまざまなハウスホルダー変換I − 2を計算できます。$\mathbf {QR}$$\mathbf u$$\bf A$$\bf e_1$$1$$\bf u$。$\mathbf{ I - 2\, uu^T x}$

結果の投影は次のように表すことができます

$\text{sign}(x_i=x_1)\times \lVert x \rVert \begin{bmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_m\end{bmatrix}$

ベクトルは、分解する行列の列ベクトルと、によって決定される部分空間または「ミラー」全体の反射に対応するベクトル間の差を表します。x A y $\bf v$$\bf x$$\bf A$$\bf y$$\bf u$

LAPACKで使用される方法では、ハウスホルダーリフレクターの最初のエントリーを変換することで、ストレージの必要性を解放します。代わりに、ベクトル正規のすると、それが変換されるだけ拳エントリである。まだ、これらの新しいベクトル-それらをと呼んでも、方向ベクトルとして使用できます。V U ‖ U ‖ = 1 1 $1$$\bf v$$\bf u$$\lVert u\rVert= 1$$1$$\bf w$

この方法の美しさは、その与えられたことをされた で分解が上三角で、我々は実際の利点を取ることができますの要素これらとでそれらを埋めるために、対角以下リフレクター。ありがたいことに、これらのベクトルの先頭のエントリはすべてに等しく、行列の「論争のある」対角線の問題を回避します。これらがすべてあることを知っていれば、含める必要はなく、のエントリの対角線を生成できます。。Q R 0 R w 1 1 $\bf R$$\bf QR$$0$$\bf R$$\bf w$$1$$1$$\bf R$

関数内の「コンパクトQR」行列は、qr()$qr大まかに行列と「変更された」リフレクターの下三角の「ストレージ」行列の追加として理解できます。$\mathbf R$

世帯主の予測は、依然としてI - 2の形式が、我々はで作業することはできません U（ ‖ X ‖ = 1）、むしろベクターと Wのみ最初のエントリがあるとguanteedされた、 1、及び$\mathbf{ I - 2\, uu^T x}$$\bf u$$\lVert \bf x \rVert=1$$\bf w$$1$

$\mathbf{ I - 2\, uu^T x}=\mathbf{ I - 2\, \frac{w}{\lVert w \rVert} \frac{w^T}{\lVert w \rVert} x}=\mathbf{ I - 2\, \frac{w\,w^T}{\lVert w \rVert^2}\,x}\tag{1}$

$\bf w$$\bf R$$1$qr()$qr$\bf w$$\text{tau}$

$\Large \tau = \frac{w^T\,w}{2}= \frac{\lVert \bf w \rVert}{2}$$\text{reflectors}=\large \bf w/\tau$$\bf R$$\bf QR$

$\bf w$$1$qr()qr()$qr$\tau$qr()$qraux$\rho=\frac{\sum \text{reflectors}^2}{2}= \frac{\bf w^Tw}{\tau^2} / 2$

$\bf w/\tau$

すべてのコードはここにありますが、この答えはコーディングと線形代数の共通部分に関するものなので、簡単に出力を貼り付けます。

options(scipen=999)
set.seed(13)
(X = matrix(c(rnorm(16)), nrow=4, byrow=F))
           [,1]      [,2]       [,3]       [,4]
[1,]  0.5543269 1.1425261 -0.3653828 -1.3609845
[2,] -0.2802719 0.4155261  1.1051443 -1.8560272
[3,]  1.7751634 1.2295066 -1.0935940 -0.4398554
[4,]  0.1873201 0.2366797  0.4618709 -0.1939469

今私はHouse()次のように関数を書きました：

   House = function(A){
    Q = diag(nrow(A))
    reflectors = matrix(0,nrow=nrow(A),ncol=ncol(A))
    for(r in 1:(nrow(A) - 1)){ 
        # We will apply Householder to progressively the columns in A, decreasing 1 element at a time.
        x = A[r:nrow(A), r] 
        # We now get the vector v, starting with first entry = norm-2 of x[i] times 1
        # The sign is to avoid computational issues
        first = (sign(x[1]) * sqrt(sum(x^2))) +  x[1]
        # We get the rest of v, which is x unchanged, since e1 = [1, 0, 0, ..., 0]
        # We go the the last column / row, hence the if statement:
        v = if(length(x) > 1){c(first, x[2:length(x)])}else{v = c(first)}
        # Now we make the first entry unitary:
        w = v/first
        # Tau will be used in the Householder transform, so here it goes:
        t = as.numeric(t(w)%*%w) / 2
        # And the "reflectors" are stored as in the R qr()$qr function:
        reflectors[r: nrow(A), r] = w/t
        # The Householder tranformation is:
        I = diag(length(r:nrow(A)))
        H.transf = I - 1/t * (w %*% t(w))
        H_i  = diag(nrow(A))
        H_i[r:nrow(A),r:ncol(A)] = H.transf
        # And we apply the Householder reflection - we left multiply the entire A or Q
        A = H_i %*% A
        Q = H_i %*% Q
    }
    DECOMPOSITION = list("Q"= t(Q), "R"= round(A,7), 
            "compact Q as in qr()$qr"=  
            ((A*upper.tri(A,diag=T))+(reflectors*lower.tri(reflectors,diag=F))), 
            "reflectors" = reflectors,
            "rho"=c(apply(reflectors[,1:(ncol(reflectors)- 1)], 2, 
                function(x) sum(x^2) / 2), A[nrow(A),ncol(A)]))
    return(DECOMPOSITION)
}

出力をR組み込み関数と比較してみましょう。まず自家製関数：

(H = House(X))
$Q
            [,1]        [,2]       [,3]       [,4]
[1,] -0.29329367 -0.73996967  0.5382474  0.2769719
[2,]  0.14829152 -0.65124800 -0.5656093 -0.4837063
[3,] -0.93923665  0.13835611 -0.1947321 -0.2465187
[4,] -0.09911084 -0.09580458 -0.5936794  0.7928072

$R
          [,1]       [,2]       [,3]      [,4]
[1,] -1.890006 -1.4517318  1.2524151 0.5562856
[2,]  0.000000 -0.9686105 -0.6449056 2.1735456
[3,]  0.000000  0.0000000 -0.8829916 0.5180361
[4,]  0.000000  0.0000000  0.0000000 0.4754876

$`compact Q as in qr()$qr`
            [,1]        [,2]       [,3]      [,4]
[1,] -1.89000649 -1.45173183  1.2524151 0.5562856
[2,] -0.14829152 -0.96861050 -0.6449056 2.1735456
[3,]  0.93923665 -0.67574886 -0.8829916 0.5180361
[4,]  0.09911084  0.03909742  0.6235799 0.4754876

$reflectors
            [,1]        [,2]      [,3] [,4]
[1,]  1.29329367  0.00000000 0.0000000    0
[2,] -0.14829152  1.73609434 0.0000000    0
[3,]  0.93923665 -0.67574886 1.7817597    0
[4,]  0.09911084  0.03909742 0.6235799    0

$rho
[1] 1.2932937 1.7360943 1.7817597 0.4754876

R関数に：

qr.Q(qr(X))
            [,1]        [,2]       [,3]       [,4]
[1,] -0.29329367 -0.73996967  0.5382474  0.2769719
[2,]  0.14829152 -0.65124800 -0.5656093 -0.4837063
[3,] -0.93923665  0.13835611 -0.1947321 -0.2465187
[4,] -0.09911084 -0.09580458 -0.5936794  0.7928072

qr.R(qr(X))
          [,1]       [,2]       [,3]      [,4]
[1,] -1.890006 -1.4517318  1.2524151 0.5562856
[2,]  0.000000 -0.9686105 -0.6449056 2.1735456
[3,]  0.000000  0.0000000 -0.8829916 0.5180361
[4,]  0.000000  0.0000000  0.0000000 0.4754876

$qr
            [,1]        [,2]       [,3]      [,4]
[1,] -1.89000649 -1.45173183  1.2524151 0.5562856
[2,] -0.14829152 -0.96861050 -0.6449056 2.1735456
[3,]  0.93923665 -0.67574886 -0.8829916 0.5180361
[4,]  0.09911084  0.03909742  0.6235799 0.4754876

$qraux
[1] 1.2932937 1.7360943 1.7817597 0.4754876