フーリエ/三角補間

バックグラウンド

Epstein（1991）の論文では、毎月の平均値から毎日の気候値を取得する際に、定周期および等間隔の値のフーリエ補間を計算するための公式とアルゴリズムが示されています。

この論文では、補間によって月次平均から日次値を取得することが目標です。

要するに、未知の毎日の値は調和成分の合計で表すことができると仮定されます： 紙で Tヶ月で表される（時間）。

$$y(t) = a_{0} + \sum_{j}\left[a_{j}\,\cos(2\pi jt/12)+b_{j}\,\sin(2\pi jt/12)\right]$$ $t$

多少の偏差の後、項は次のように計算できることが示されます： ここで、YTは月の平均、Tは月の平均を示します。

$$\begin{align} a_{0} &= \sum_{T}Y_{T}/12 \\ a_{j} &= \left[ (\pi j/12)/\sin(\pi j/12)\right] \times \sum_{T}\left[Y_{T}\,\cos(2\pi jT/12)/6 \right]~~~~~~~j=1,\ldots, 5 \\ b_{j} &= \left[ (\pi j/12)/\sin(\pi j/12)\right] \times \sum_{T}\left[Y_{T}\,\sin(2\pi jT/12)/6 \right]~~~~~~~j=1,\ldots, 5 \\ a_{6} &= \left[ (\pi j/12)/\sin(\pi j/12)\right]\times \sum_{T}\left[Y_{T}\cos(\pi T)/12\right] \\ b_{6} &= 0 \end{align}$$ $Y_{T}$$T$

Harzallah（1995）は、このアプローチを次のように要約しています。 」

---

ご質問

私の目標は、上記の方法論を使用して週次平均を補間し、日次データを取得することです（前の質問を参照）。要約すると、カウントデータの週平均は835です（質問の最後にあるサンプルデータセットを参照）。上で概説したアプローチを適用する前に理解できないことがかなりあります。

1. 状況に応じて数式をどのように変更する必要がありますか（毎月の値ではなく毎週）？
2. 時間どのように表現できますか？私はt / 835（または一般にn個のデータポイントを持つt / n）を想定しましたが、それは正しいですか？$t$$t/835$$t/n$$n$
3. なぜ著者の計算7項（すなわち）？いくつの用語を検討する必要がありますか？$0\leq j \leq 6$
4. 質問はおそらく回帰アプローチを使用し、補間の予測を使用することで解決できることを理解しています（Nickに感謝）。それでも、いくつかのことは私には不明確です：回帰に含まれるべき高調波の項はいくつですか？そして、どの期間を取るべきですか？毎週の平均が確実に維持されるように回帰を行うにはどうすればよいですか（データに正確な調和フィットが必要ないため）。

$j$$1, \ldots, 417$$~$$~$

正確な調和フィットのプロットは次のとおりです。

編集

使い方信号パッケージとinterp1機能を、ここで私は（@noumenalに多くのおかげで）以下からセットの例データを使用して行うことができたものです。私q=7たちは毎週のデータを持っているので使用します：

# Set up the time scale

daily.ts <- seq(from=as.Date("1995-01-01"), to=as.Date("2010-12-31"), by="day")

# Set up data frame 

ts.frame <- data.frame(daily.ts=daily.ts, wdayno=as.POSIXlt(daily.ts)$wday,
                       yearday = 1:5844,
                       no.influ.cases=NA)

# Add the data from the example dataset called "my.dat"

ts.frame$no.influ.cases[ts.frame$wdayno==3] <- my.dat$case

# Interpolation

case.interp1 <- interp1(x=ts.frame$yearday[!is.na(ts.frame$no.influ.case)],y=(ts.frame$no.influ.cases[!is.na(ts.frame$no.influ.case)]),xi=ts.frame$yearday, method = c("cubic"))

# Plot subset for better interpretation
par(bg="white", cex=1.2, las=1)
plot((ts.frame$no.influ.cases)~ts.frame$yearday, pch=20,
     col=grey(0.4),
     cex=1, las=1,xlim=c(0,400), xlab="Day", ylab="Influenza cases")
lines(case.interp1, col="steelblue", lwd=1)

ここには2つの問題があります。

1. 曲線は「良すぎる」に適合しているようです。すべての点を通過します
2. 毎週の平均は保存されていません

データセットの例

structure(list(date = structure(c(9134, 9141, 9148, 9155, 9162, 
9169, 9176, 9183, 9190, 9197, 9204, 9211, 9218, 9225, 9232, 9239, 
9246, 9253, 9260, 9267, 9274, 9281, 9288, 9295, 9302, 9309, 9316, 
9323, 9330, 9337, 9344, 9351, 9358, 9365, 9372, 9379, 9386, 9393, 
9400, 9407, 9414, 9421, 9428, 9435, 9442, 9449, 9456, 9463, 9470, 
9477, 9484, 9491, 9498, 9505, 9512, 9519, 9526, 9533, 9540, 9547, 
9554, 9561, 9568, 9575, 9582, 9589, 9596, 9603, 9610, 9617, 9624, 
9631, 9638, 9645, 9652, 9659, 9666, 9673, 9680, 9687, 9694, 9701, 
9708, 9715, 9722, 9729, 9736, 9743, 9750, 9757, 9764, 9771, 9778, 
9785, 9792, 9799, 9806, 9813, 9820, 9827, 9834, 9841, 9848, 9855, 
9862, 9869, 9876, 9883, 9890, 9897, 9904, 9911, 9918, 9925, 9932, 
9939, 9946, 9953, 9960, 9967, 9974, 9981, 9988, 9995, 10002, 
10009, 10016, 10023, 10030, 10037, 10044, 10051, 10058, 10065, 
10072, 10079, 10086, 10093, 10100, 10107, 10114, 10121, 10128, 
10135, 10142, 10149, 10156, 10163, 10170, 10177, 10184, 10191, 
10198, 10205, 10212, 10219, 10226, 10233, 10240, 10247, 10254, 
10261, 10268, 10275, 10282, 10289, 10296, 10303, 10310, 10317, 
10324, 10331, 10338, 10345, 10352, 10359, 10366, 10373, 10380, 
10387, 10394, 10401, 10408, 10415, 10422, 10429, 10436, 10443, 
10450, 10457, 10464, 10471, 10478, 10485, 10492, 10499, 10506, 
10513, 10520, 10527, 10534, 10541, 10548, 10555, 10562, 10569, 
10576, 10583, 10590, 10597, 10604, 10611, 10618, 10625, 10632, 
10639, 10646, 10653, 10660, 10667, 10674, 10681, 10688, 10695, 
10702, 10709, 10716, 10723, 10730, 10737, 10744, 10751, 10758, 
10765, 10772, 10779, 10786, 10793, 10800, 10807, 10814, 10821, 
10828, 10835, 10842, 10849, 10856, 10863, 10870, 10877, 10884, 
10891, 10898, 10905, 10912, 10919, 10926, 10933, 10940, 10947, 
10954, 10961, 10968, 10975, 10982, 10989, 10996, 11003, 11010, 
11017, 11024, 11031, 11038, 11045, 11052, 11059, 11066, 11073, 
11080, 11087, 11094, 11101, 11108, 11115, 11122, 11129, 11136, 
11143, 11150, 11157, 11164, 11171, 11178, 11185, 11192, 11199, 
11206, 11213, 11220, 11227, 11234, 11241, 11248, 11255, 11262, 
11269, 11276, 11283, 11290, 11297, 11304, 11311, 11318, 11325, 
11332, 11339, 11346, 11353, 11360, 11367, 11374, 11381, 11388, 
11395, 11402, 11409, 11416, 11423, 11430, 11437, 11444, 11451, 
11458, 11465, 11472, 11479, 11486, 11493, 11500, 11507, 11514, 
11521, 11528, 11535, 11542, 11549, 11556, 11563, 11570, 11577, 
11584, 11591, 11598, 11605, 11612, 11619, 11626, 11633, 11640, 
11647, 11654, 11661, 11668, 11675, 11682, 11689, 11696, 11703, 
11710, 11717, 11724, 11731, 11738, 11745, 11752, 11759, 11766, 
11773, 11780, 11787, 11794, 11801, 11808, 11815, 11822, 11829, 
11836, 11843, 11850, 11857, 11864, 11871, 11878, 11885, 11892, 
11899, 11906, 11913, 11920, 11927, 11934, 11941, 11948, 11955, 
11962, 11969, 11976, 11983, 11990, 11997, 12004, 12011, 12018, 
12025, 12032, 12039, 12046, 12053, 12060, 12067, 12074, 12081, 
12088, 12095, 12102, 12109, 12116, 12123, 12130, 12137, 12144, 
12151, 12158, 12165, 12172, 12179, 12186, 12193, 12200, 12207, 
12214, 12221, 12228, 12235, 12242, 12249, 12256, 12263, 12270, 
12277, 12284, 12291, 12298, 12305, 12312, 12319, 12326, 12333, 
12340, 12347, 12354, 12361, 12368, 12375, 12382, 12389, 12396, 
12403, 12410, 12417, 12424, 12431, 12438, 12445, 12452, 12459, 
12466, 12473, 12480, 12487, 12494, 12501, 12508, 12515, 12522, 
12529, 12536, 12543, 12550, 12557, 12564, 12571, 12578, 12585, 
12592, 12599, 12606, 12613, 12620, 12627, 12634, 12641, 12648, 
12655, 12662, 12669, 12676, 12683, 12690, 12697, 12704, 12711, 
12718, 12725, 12732, 12739, 12746, 12753, 12760, 12767, 12774, 
12781, 12788, 12795, 12802, 12809, 12816, 12823, 12830, 12837, 
12844, 12851, 12858, 12865, 12872, 12879, 12886, 12893, 12900, 
12907, 12914, 12921, 12928, 12935, 12942, 12949, 12956, 12963, 
12970, 12977, 12984, 12991, 12998, 13005, 13012, 13019, 13026, 
13033, 13040, 13047, 13054, 13061, 13068, 13075, 13082, 13089, 
13096, 13103, 13110, 13117, 13124, 13131, 13138, 13145, 13152, 
13159, 13166, 13173, 13180, 13187, 13194, 13201, 13208, 13215, 
13222, 13229, 13236, 13243, 13250, 13257, 13264, 13271, 13278, 
13285, 13292, 13299, 13306, 13313, 13320, 13327, 13334, 13341, 
13348, 13355, 13362, 13369, 13376, 13383, 13390, 13397, 13404, 
13411, 13418, 13425, 13432, 13439, 13446, 13453, 13460, 13467, 
13474, 13481, 13488, 13495, 13502, 13509, 13516, 13523, 13530, 
13537, 13544, 13551, 13558, 13565, 13572, 13579, 13586, 13593, 
13600, 13607, 13614, 13621, 13628, 13635, 13642, 13649, 13656, 
13663, 13670, 13677, 13684, 13691, 13698, 13705, 13712, 13719, 
13726, 13733, 13740, 13747, 13754, 13761, 13768, 13775, 13782, 
13789, 13796, 13803, 13810, 13817, 13824, 13831, 13838, 13845, 
13852, 13859, 13866, 13873, 13880, 13887, 13894, 13901, 13908, 
13915, 13922, 13929, 13936, 13943, 13950, 13957, 13964, 13971, 
13978, 13985, 13992, 13999, 14006, 14013, 14020, 14027, 14034, 
14041, 14048, 14055, 14062, 14069, 14076, 14083, 14090, 14097, 
14104, 14111, 14118, 14125, 14132, 14139, 14146, 14153, 14160, 
14167, 14174, 14181, 14188, 14195, 14202, 14209, 14216, 14223, 
14230, 14237, 14244, 14251, 14258, 14265, 14272, 14279, 14286, 
14293, 14300, 14307, 14314, 14321, 14328, 14335, 14342, 14349, 
14356, 14363, 14370, 14377, 14384, 14391, 14398, 14405, 14412, 
14419, 14426, 14433, 14440, 14447, 14454, 14461, 14468, 14475, 
14482, 14489, 14496, 14503, 14510, 14517, 14524, 14531, 14538, 
14545, 14552, 14559, 14566, 14573, 14580, 14587, 14594, 14601, 
14608, 14615, 14622, 14629, 14636, 14643, 14650, 14657, 14664, 
14671, 14678, 14685, 14692, 14699, 14706, 14713, 14720, 14727, 
14734, 14741, 14748, 14755, 14762, 14769, 14776, 14783, 14790, 
14797, 14804, 14811, 14818, 14825, 14832, 14839, 14846, 14853, 
14860, 14867, 14874, 14881, 14888, 14895, 14902, 14909, 14916, 
14923, 14930, 14937, 14944, 14951, 14958, 14965, 14972), class = "Date"), 
    cases = c(168L, 199L, 214L, 230L, 267L, 373L, 387L, 443L, 
    579L, 821L, 1229L, 1014L, 831L, 648L, 257L, 203L, 137L, 78L, 
    82L, 69L, 45L, 51L, 45L, 63L, 55L, 54L, 52L, 27L, 24L, 12L, 
    10L, 22L, 42L, 32L, 52L, 82L, 95L, 91L, 104L, 143L, 114L, 
    100L, 83L, 113L, 145L, 175L, 222L, 258L, 384L, 755L, 976L, 
    879L, 846L, 1004L, 801L, 799L, 680L, 530L, 410L, 302L, 288L, 
    234L, 269L, 245L, 240L, 176L, 188L, 128L, 96L, 59L, 63L, 
    44L, 52L, 39L, 50L, 36L, 40L, 48L, 32L, 39L, 28L, 29L, 16L, 
    20L, 25L, 25L, 48L, 57L, 76L, 117L, 107L, 91L, 90L, 83L, 
    76L, 86L, 104L, 101L, 116L, 120L, 185L, 290L, 537L, 485L, 
    561L, 1142L, 1213L, 1235L, 1085L, 1052L, 987L, 918L, 746L, 
    620L, 396L, 280L, 214L, 148L, 148L, 94L, 107L, 69L, 55L, 
    69L, 47L, 43L, 49L, 30L, 42L, 51L, 41L, 39L, 40L, 38L, 22L, 
    37L, 26L, 40L, 56L, 54L, 74L, 99L, 114L, 114L, 120L, 114L, 
    123L, 131L, 170L, 147L, 163L, 163L, 160L, 158L, 163L, 124L, 
    115L, 176L, 171L, 214L, 320L, 507L, 902L, 1190L, 1272L, 1282L, 
    1146L, 896L, 597L, 434L, 216L, 141L, 101L, 86L, 65L, 55L, 
    35L, 49L, 29L, 55L, 53L, 57L, 34L, 43L, 42L, 13L, 17L, 20L, 
    27L, 36L, 47L, 64L, 77L, 82L, 82L, 95L, 107L, 96L, 106L, 
    93L, 114L, 102L, 116L, 128L, 123L, 212L, 203L, 165L, 267L, 
    550L, 761L, 998L, 1308L, 1613L, 1704L, 1669L, 1296L, 975L, 
    600L, 337L, 259L, 145L, 91L, 70L, 79L, 63L, 58L, 51L, 53L, 
    39L, 49L, 33L, 47L, 56L, 32L, 43L, 47L, 19L, 32L, 18L, 34L, 
    39L, 63L, 57L, 55L, 69L, 76L, 103L, 99L, 108L, 131L, 113L, 
    106L, 122L, 138L, 136L, 175L, 207L, 324L, 499L, 985L, 1674L, 
    1753L, 1419L, 1105L, 821L, 466L, 274L, 180L, 143L, 82L, 101L, 
    72L, 55L, 71L, 50L, 33L, 26L, 25L, 27L, 21L, 24L, 24L, 20L, 
    18L, 18L, 25L, 23L, 13L, 10L, 16L, 9L, 12L, 16L, 25L, 31L, 
    36L, 40L, 36L, 47L, 32L, 46L, 75L, 63L, 49L, 90L, 83L, 101L, 
    78L, 79L, 98L, 131L, 83L, 122L, 179L, 334L, 544L, 656L, 718L, 
    570L, 323L, 220L, 194L, 125L, 95L, 77L, 46L, 42L, 29L, 35L, 
    21L, 29L, 16L, 14L, 19L, 15L, 19L, 18L, 21L, 10L, 14L, 7L, 
    7L, 5L, 9L, 14L, 11L, 18L, 22L, 39L, 36L, 46L, 44L, 37L, 
    30L, 39L, 37L, 45L, 71L, 59L, 57L, 80L, 68L, 88L, 72L, 74L, 
    208L, 357L, 621L, 839L, 964L, 835L, 735L, 651L, 400L, 292L, 
    198L, 85L, 64L, 41L, 40L, 23L, 18L, 14L, 22L, 9L, 19L, 8L, 
    14L, 12L, 15L, 14L, 4L, 6L, 7L, 7L, 8L, 13L, 10L, 19L, 17L, 
    20L, 22L, 40L, 37L, 45L, 34L, 26L, 35L, 67L, 49L, 77L, 82L, 
    80L, 104L, 88L, 49L, 73L, 113L, 142L, 152L, 206L, 293L, 513L, 
    657L, 919L, 930L, 793L, 603L, 323L, 202L, 112L, 55L, 31L, 
    27L, 15L, 15L, 6L, 13L, 21L, 10L, 11L, 9L, 8L, 11L, 7L, 5L, 
    1L, 4L, 7L, 2L, 6L, 12L, 14L, 21L, 29L, 32L, 26L, 22L, 44L, 
    39L, 47L, 44L, 93L, 145L, 289L, 456L, 685L, 548L, 687L, 773L, 
    575L, 355L, 248L, 179L, 129L, 122L, 103L, 72L, 72L, 36L, 
    26L, 31L, 12L, 14L, 14L, 14L, 7L, 8L, 2L, 7L, 8L, 9L, 26L, 
    10L, 13L, 13L, 5L, 5L, 3L, 6L, 1L, 10L, 6L, 7L, 17L, 12L, 
    21L, 32L, 29L, 18L, 22L, 24L, 38L, 52L, 53L, 73L, 49L, 52L, 
    70L, 77L, 95L, 135L, 163L, 303L, 473L, 823L, 1126L, 1052L, 
    794L, 459L, 314L, 252L, 111L, 55L, 35L, 14L, 30L, 21L, 16L, 
    9L, 11L, 6L, 6L, 8L, 9L, 9L, 10L, 15L, 15L, 11L, 6L, 3L, 
    8L, 4L, 7L, 7L, 13L, 10L, 23L, 24L, 36L, 25L, 34L, 37L, 46L, 
    39L, 37L, 55L, 65L, 54L, 60L, 82L, 55L, 53L, 61L, 52L, 75L, 
    92L, 121L, 170L, 199L, 231L, 259L, 331L, 357L, 262L, 154L, 
    77L, 34L, 41L, 21L, 17L, 16L, 7L, 15L, 11L, 7L, 5L, 6L, 13L, 
    7L, 6L, 8L, 7L, 1L, 11L, 9L, 3L, 9L, 9L, 8L, 15L, 19L, 16L, 
    10L, 12L, 26L, 35L, 35L, 41L, 34L, 30L, 36L, 43L, 23L, 55L, 
    107L, 141L, 217L, 381L, 736L, 782L, 663L, 398L, 182L, 137L, 
    79L, 28L, 26L, 16L, 14L, 8L, 4L, 4L, 6L, 6L, 11L, 4L, 5L, 
    7L, 7L, 6L, 8L, 2L, 3L, 3L, 1L, 1L, 3L, 3L, 2L, 8L, 8L, 11L, 
    10L, 11L, 8L, 24L, 25L, 25L, 33L, 36L, 51L, 61L, 74L, 92L, 
    89L, 123L, 402L, 602L, 524L, 494L, 406L, 344L, 329L, 225L, 
    136L, 136L, 84L, 55L, 55L, 42L, 19L, 28L, 8L, 7L, 2L, 7L, 
    6L, 4L, 3L, 5L, 3L, 3L, 0L, 1L, 2L, 3L, 2L, 1L, 2L, 2L, 9L, 
    4L, 9L, 10L, 18L, 15L, 13L, 12L, 10L, 19L, 15L, 22L, 23L, 
    34L, 43L, 53L, 47L, 57L, 328L, 552L, 787L, 736L, 578L, 374L, 
    228L, 161L, 121L, 96L, 58L, 50L, 37L, 14L, 9L, 6L, 15L, 12L, 
    9L, 1L, 6L, 4L, 7L, 7L, 3L, 6L, 9L, 15L, 22L, 28L, 34L, 62L, 
    54L, 75L, 65L, 58L, 57L, 60L, 37L, 47L, 60L, 89L, 90L, 193L, 
    364L, 553L, 543L, 676L, 550L, 403L, 252L, 140L, 125L, 99L, 
    63L, 63L, 76L, 85L, 68L, 67L, 38L, 25L, 24L, 11L, 9L, 9L, 
    4L, 8L, 4L, 6L, 5L, 2L, 6L, 4L, 4L, 1L, 5L, 4L, 1L, 2L, 2L, 
    2L, 2L, 3L, 4L, 4L, 7L, 5L, 2L, 10L, 11L, 17L, 11L, 16L, 
    15L, 11L, 12L, 21L, 20L, 25L, 46L, 51L, 90L, 123L)), .Names = c("date", 
"cases"), row.names = c(NA, -835L), class = "data.frame")

私はフーリエ変換の専門家ではありませんが...

エプスタインの合計サンプル範囲は24か月で、毎月のサンプルレートは1/12年でした。サンプル範囲は835週間です。毎日のデータに基づいて最大16年のデータで1年間の平均を推定することが目標である場合は、1/365年のサンプルレートが必要です。したがって、12を52に置き換えますが、最初に単位を標準化し、835週を835 * 7 = 5845日に拡張します。ただし、週ごとのデータポイントしかない場合、ピーク分析ではサンプル深度52、ビット深度は16または17、偶数/奇数比較では32または33をお勧めします。したがって、デフォルトの入力オプションには、1）週平均（または絶対偏差の中央値、MAD、またはその程度の何か）を使用するか、2）毎日の値を使用してより高い解像度を提供します。

Liebman et al。カットオフポイントjmax = 2を選択しました。したがって、図3.はパーシャルが少なく、図2に比べてサインの上部でより対称的です（ベース周波数での単一のパーシャルは、純粋な正弦波になります。 ）Epsteinがより高い解像度（jmax = 12など）を選択した場合、変換はおそらく追加のコンポーネントでわずかな変動しか生じないか、またはおそらく計算能力に欠けていました。

データを目視検査すると、16〜17個のピークがあるように見えます。jmaxまたは「ビット深度」を6、11、16、または17（図を参照）に設定して、出力を比較することをお勧めします。ピークが高いほど、元の複雑な波形に大きく寄与します。したがって、17バンドの解像度またはビット深度を想定すると、17番目のパーシャルは、6番目のピークと比較して、元の波形パターンにほとんど寄与しません。ただし、34のバンド分解能では、かなり一定の谷が示唆するように、偶数ピークと奇数ピークの違いを検出します。ビット深度は、ピークのみに関心があるのか​​、ピークと谷の両方に関心があるのか​​、また元の系列をどの程度正確に近似したいのかという研究の質問によって異なります。

フーリエ解析はデータポイントを削減します。フーリエ変換を使用して特定のビット深度で関数を反転する場合は、おそらく新しい平均推定値が元の平均値に対応しているかどうかをクロスチェックできます。したがって、4番目の質問に答えるには、言及した回帰パラメーターは、必要な感度と解像度に依存します。完全に一致させたくない場合は、変換に毎週の平均値を入力してください。ただし、ビット深度を下げるとデータも減少することに注意してください。たとえば、図3の12月に、リーバーマンと同僚の分析に対するエプスタインの調和オーバーレイがステップ関数の中間点に少しずれている（つまり、温度推定値が高すぎる）ことに注意してください。

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Liebmanと同僚のパラメータ：

• ビット深度：2

エプスタインのパラメーター：

• サンプルレート：12 [毎月]
• サンプル範囲：24か月
• ビット深度：6

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あなたのパラメータ：

• サンプルレート：365 [毎日]

• サンプル範囲：5845日

正確なビット深度アプローチ

目視検査に基づく正確な適合。（パワーがある場合は、ビット深度が低い場合と比較してどうなるかを確認してください。）

• フルスペクトル（ピーク）：17
• フルスペクトル（偶数/奇数）：34

可変ビット深度アプローチ

これはおそらくあなたがしたいことです：

• ピークのみを比較：6、11、16、17
• 偶数/奇数の比較：12、22、32、34
• 平均の再合成と比較

このアプローチでは、変換を逆にした場合、つまり部分音を元の時系列の近似に合成した場合、エプスタインの図の比較と同様の結果が得られます。また、再合成された曲線の離散点を平均値と比較することもできます。ビット差の選択の感度を示すために有意差をテストすることもできます。

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更新1：

ビット深度

ビット（2進数の略）は0または1です。ビット010101は方形波を表します。ビット深度は1ビットです。のこぎり波を記述するには、より多くのビットが必要になります。0123210。波が複雑になるほど、より多くのビットが必要になります。

これはやや簡略化された説明ですが、時系列が複雑になるほど、それをモデル化するために必要なビットが多くなります。実際、「1」は正弦波成分であり、方形波ではありません（方形波は3 2 1 0に似ています-添付の図を参照）。0ビットはフラットラインになります。ビット深度が減少すると、情報が失われます。たとえば、CD品質のオーディオは通常16ビットですが、固定電話の品質のオーディオは多くの場合約8ビットです。

グラフに注目して、この画像を左から右に読んでください。

実際にパワースペクトル分析を完了しました（ただし、図では高解像度です）。次の目標は、時系列の平均を正確に取得するためにパワースペクトルに必要なコンポーネントの数を把握することです。

アップデート2

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フィルタリングするかしないか

私はインターバル制約に精通しているだけなので、回帰に制約をどのように導入するかは完全にはわかりませんが、おそらくDSPがソリューションです。これは私がこれまでに考えたものです：

• ステップ1.完全なデータセット（日数）でフーリエ関数を使用してシリーズを正弦波コンポーネントに分解

• ステップ2.逆フーリエ変換を介して時系列を再作成し、追加の平均制約を元のデータに結合します。元の平均からの内挿の偏差は互いに相殺するはずです（Harzallah、1995）。

私の推測では、Harzallah（1995、図2）を正しく理解している場合は、自己回帰を導入する必要があります。それはおそらく無限応答フィルター（IIR）に対応するでしょうか？

IIR http://paulbourke.net/miscellaneous/ar/

要約すれば：

1. 生データから手段を導き出す
2. フーリエ変換生データ
3. フーリエ逆変換変換データ。
4. IIRを使用して結果をフィルタリングする

おそらく、フーリエ解析を行わずにIIRフィルターを使用できますか？私が見るフーリエ解析の唯一の利点は、影響力のあるパターンと、それらがどのくらいの頻度で再発する（つまり、振動する）かを分離して決定することです。次に、寄与が少ないものをフィルターで除外することを決定できます。たとえば、寄与が最も少ないピークで狭いノッチフィルターを使用します（または独自の基準に基づいてフィルターします）。手始めに、「信号」でノイズのように見える、あまり寄与しない奇妙な谷をフィルターで取り除くことができます。ノイズの特徴は、非常に少ないケースとパターンがないことです。奇数の周波数成分のくし形フィルターは、パターンを見つけない限り、ノイズを減らすことができます。

以下は、説明のみを目的とした任意のビニングです。

おっと-そのためのR関数があります！？

IIRフィルターを検索しているときに、R関数がSignalパッケージに補間されていることを発見しました。ここまでに言ったことはすべて忘れてください。補間はHarzallahのように機能するはずです：http ://cran.r-project.org/web/packages/signal/signal.pdf

関数で遊んでみてください。トリックを行う必要があります。

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アップデート3

interp1はinterpではありません

case.interp1 <- interp1(x=(ts.frame$no.influ.cases[!is.na(ts.frame$no.influ.case)]),y=ts.frame$yearday[!is.na(ts.frame$no.influ.case)],xi=mean(WEEKLYMEANSTABLE),method = c("cubic"))

xiを元の週平均に設定します。