標準偏差の標準偏差

データの正規性を仮定できる場合、標準偏差の標準偏差の推定量とは何ですか？

ましょ。このスレッドに示すように、サンプルの標準偏差の標準偏差、$X_1, ..., X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$

$$s = \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X}) },$$

は

$${\rm SD}(s) = \sqrt{ E \left( [E(s)- s]^2 \right) } = \sigma \sqrt{ 1 - \frac{2}{n-1} \cdot \left( \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \right)^2 }$$

$\Gamma(\cdot)$$n$$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$$s$$\sigma$$\sigma$$s$${\rm SD}(s)$

$E(s) = \sigma \cdot \sqrt{ \frac{2}{n-1} } \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) }$

$$s \cdot \sqrt{ \frac{n-1}{2} } \cdot \frac{\Gamma( \frac{n-1}{2} )}{ \Gamma(n/2) }$$

$\sigma$${\rm SD}(s)$

$$s \cdot \frac{\Gamma( \frac{n-1}{2} )}{ \Gamma(n/2) } \cdot \sqrt{\frac{n-1}{2} - \left( \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \right)^2 }$$

$X_1,\dots,X_n$$\sigma^2$$\hat{\sigma}^2$$\sigma^2$$X_1,\dots,X_n$$\hat{\sigma}$$\sqrt{E[(\sigma-\hat{\sigma})^2]}$$\sigma/\sqrt{n}$

@Macroは、計算する方程式を含む優れた数学的説明を提供しました。以下は、数学の少ない人向けのより一般的な説明です。

「SDのSD」という用語は多くの人を混乱させていると思います。SDの信頼区間について考えるのは簡単です。サンプルから計算した標準偏差はどれくらい正確ですか？たまたま、密集したデータを取得して、サンプルSDを母集団SDよりもかなり低くした可能性があります。または、母集団SDよりもサンプルSDが高くなるように、母集団全体よりもはるかに分散した値をランダムに取得した可能性があります。

SDのCIの解釈は簡単です。データはガウス分布からランダムかつ独立してサンプリングされるという慣習的な仮定から始めます。このサンプリングを何度も繰り返します。これらの信頼区間の95％には、真の母集団SDが含まれると予想されます。

SDの95％信頼区間はどのくらいですか？もちろん、サンプルサイズ（n）に依存します。

n：SDの95％CI

2：0.45 * SDから31.9 * SD

3：0.52 * SDから6.29 * SD

5：0.60 * SDから2.87 * SD

10：0.69 * SDから1.83 * SD

25：0.78 * SDから1.39 * SD

50：0.84 * SDから1.25 * SD

100：0.88 * SDから1.16 * SD

500：0.94 * SDから1.07 * SD

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