フィッシャーのz変換はいつ適切ですか？

p値を使用して、有意性についてサンプル相関をテストしたい$r$

$H_0: \rho = 0, \; H_1: \rho \neq 0.$

私はフィッシャーのz変換を使用してこれを計算できることを理解しました

$z_{obs}= \displaystyle\frac{\sqrt{n-3}}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{1+r}{1-r}\right)$

そしてp値を見つける

$p = 2P\left(Z>z_{obs}\right)$

標準正規分布を使用します。

私の質問は、これが適切な変換であるためには、がどれくらい大きい必要があるかということです。もちろん、nは私の教科書は何の制限に言及していない3よりも大きくする必要がありますが、のスライド29にこのプレゼンテーションには、その言うnは私のようなものがあります、私は考慮されるデータについては10より大きくなければならない5 ≤ nと≤ 10。$n$$n$$n$$5 \leq n \leq 10$

このような質問については、シミュレーションを実行し、値が期待どおりに動作するかどうかを確認します。p -値はランダムに帰無仮説が真である場合は、観測データとして、帰無仮説から、少なくとも限りずれているサンプルを引き出す確率です。そのため、そのようなサンプルが多数あり、そのうちの1つが0.04のp値を持っている場合、それらのサンプルの4％が0.04未満の値を持つと予想されます。他のすべてのp値についても同様です。$p$$p$$p$$p$

以下は、Stataでのシミュレーションです。グラフはかどうかを確認し -値は、それらが測定することになっているものを測定、である、彼らは示してどのくらいのサンプルの割合のp -値以下公称よりP公称値からずれ-値のp -値。ご覧のように、このような少数の観測ではテストに多少問題があります。あなたの研究にとって問題になりすぎるかどうかはあなたの判断です。$p$$p$$p$$p$

clear all
set more off

program define sim, rclass
    tempname z se
    foreach i of numlist 5/10 20(10)50 {
        drop _all
        set obs `i'
        gen x = rnormal()
        gen y = rnormal()
        corr x y 
        scalar `z'  = atanh(r(rho))
        scalar `se' = 1/sqrt(r(N)-3)
        return scalar p`i' = 2*normal(-abs(`z'/`se'))
    }
end

simulate p5 =r(p5)  p6 =r(p6)  p7  =r(p7)     ///
         p8 =r(p8)  p9 =r(p9)  p10 =r(p10)    ///
         p20=r(p20) p30=r(p30) p40 =r(p40)    ///
         p50=r(p50), reps(200000) nodots: sim 

simpplot p5 p6 p7 p8 p9 p10, name(small, replace) ///
    scheme(s2color) ylabel(,angle(horizontal)) 

simpplot p20 p30 p40 p50 , name(less_small, replace) ///
    scheme(s2color) ylabel(,angle(horizontal)) 

FWIW私は勧告を参照マイヤーズ＆ウェル（研究デザインと統計解析、第二版、2003年、P。492）でを。脚注の状態：$N\ge 10$

厳密に言えば、変換はr /（2 （N − 1 ））の量だけバイアスされます$Z$$r/(2(N-1))$ます。Pearsonand Hartley（1954、p。29参照してください。このバイアスは、が小さく、ρが大きい場合を除き、通常無視できます。ここでは無視します。$N$$\rho$

$z$$H_0: \rho=0$$\rho$$r$$z$$t$

$H_0: \rho = \rho_0 \not = 0$$\rho_0$$n$$n$$\alpha$

ニックのポイントは公正なものです。近似値と推奨事項は常に灰色の領域で機能しています。

$n\geq (t_{\alpha/2} s/\epsilon)^2$$t$$s$$n \geq (1.96 s/\epsilon)^2$