逆分散重み付けに関する質問

我々は観測されない実現に推論を作りたいとしの確率変数の通常平均と一緒に配布され、及び分散。別の確率変数があるとし（その未観測実現私たちは同様に呼び出します、通常、平均で配布される）と分散。してみましょうの共分散もおよび。 $x$ $\tilde x$ $\mu_x$ $\sigma^2_x$ $\tilde y$ $y$ $\mu_y$ $\sigma^2_y$ $\sigma_{xy}$ $\tilde x$ $\tilde y$

今、我々は上の信号を観察すると仮定し、、及び上の信号、。仮定と独立しています。 $x$

\begin{aligned} a = バツ + \overset{〜}{あなた} 、 \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$

y

$y$

\begin{aligned} b = y + \overset{〜}{v} 、 \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$

\tilde{u}

$\tilde u$

\tilde{v}

$\tilde v$

と条件としの分布は何ですか？ $x$ $a$ $b$

これまでに知っていること： 逆分散重み付けおよび

\begin{aligned} E （ バツ | a ） = \frac{\frac{1}{σ_{バツ}^{2}} μ_{バツ} + \frac{1}{φ_{バツ}^{2}} a}{\frac{1}{σ_{バツ}^{2}} + \frac{1}{φ_{バツ}^{2}}} 、 \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$

\begin{aligned} V ar （ バツ | a ） = \frac{1}{\frac{1}{σ_{バツ}^{2}} + \frac{1}{φ_{バツ}^{2}}} 。 \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

以来、と共同で描かれ、約いくつかの情報を運ぶべきである。これを実現する以外に、私は行き詰まっています。どんな助けでもありがたいです！ $x$ $y$ $b$ $x$

meta-analysis

— bad_at_math
ソース

これは、カルマンフィルターの導出の最初の数ステップとまったく同じです。導出を見て、状態共分散推定値の更新に対するカルマンゲインについて考えることができます。cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

— EngrStudent

返信いただきありがとうございます！リンクにあるドキュメントを読みましたが、カルマンフィルタリングとの関連がわかりません。詳しく説明できますか？助けてくれてありがとう！

— bad_at_math 2013年

@EngrStudent OPがカルマンフィルターに慣れていない場合、それがどのように役立つかはわかりません。おそらく、代わりに、KFに関連する詳細（または専門用語）を呼び出さずに問題にアプローチする方法を説明することもできます。

— Glen_b-2013

ここ

— Glen_b-モニカを復活させる

ここで、逆分散の重み式が適用されるかどうかはわかりません。ただし、、、およびが多変量正規分布に従うと仮定することで、および与えられの条件付き分布を計算できると思います。 $x$ $a$ $b$ $x$ $y$ $a$ $b$

具体的には、（互換性の問題で指定したものを含む）ことを前提とした場合次に、

[\begin{matrix} バツ \\ y \\ あなた \\ v \end{matrix}] 〜 N （ [\begin{matrix} μ_{バツ} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] 、 [\begin{matrix} σ_{バツ}^{2} & σ_{バツ y} & 0 & 0 \\ σ_{バツ y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & φ_{バツ}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & φ_{y}^{2} \end{matrix}] ）

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$

および

、あなたがそれを見つけることができる

a = x + u

$a=x+u$

b = y + v

$b=y+v$

（上記では、

と

は互いに独立しており、

と

も独立していると暗黙的に想定されていることに注意してください。）

[\begin{matrix} バツ \\ a \\ b \end{matrix}] 〜 N （ [\begin{matrix} μ_{バツ} \\ μ_{バツ} \\ μ_{y} \end{matrix}] 、 [\begin{matrix} σ_{バツ}^{2} & σ_{バツ}^{2} & σ_{バツ y} \\ σ_{バツ}^{2} & σ_{バツ}^{2} + φ_{バツ}^{2} & σ_{バツ y} \\ σ_{バツ y} & σ_{バツ y} & σ_{y}^{2} + φ_{y}^{2} \end{matrix}] ） 。

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$

u

$u$

v

$v$

x

$x$

y

$y$

これから、多変量正規分布の標準プロパティを使用し、と与えられの条件付き分布を見つけることができます（例：http : //en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distributionsを参照）。 $x$ $a$ $b$

— a.arfe
ソース