非正方形の可積分関数のモンテカルロ統合

これがより適切なフォーラムに移動するのを遠慮しなくてもよいなら、私が尋ねる正しい場所であることを願っています。

私はかなり以前から、モンテカルロ積分で非正方形の可積分関数を処理する方法を考えていました。MCはまだ適切な見積もりを出していることは知っていますが、これらの種類の関数の場合、エラーは実現不可能（発散？）です。

1つの次元に制限しましょう。モンテカルロ積分は、積分を近似することを意味します

私 = \int_{0}^{1} d バツ f （ バツ ）

$I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, f(x)$

見積もりを使用

E = \frac{1}{N} Σ_{私 = 1}^{N} f （ {バツ}_{私} ）

$E = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i)$

均一に分布したランダムポイント。大きな数の法則は、ことを確認し。標本分散 $x_i \in [0,1]$ $E \approx I$

S^{2} = \frac{1}{N - 1} Σ_{私 = 1}^{N} （ f （ {バツ}_{私} ） - E ）^{2}

$S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (f (x_i) - E)^2$

によって引き起こされる分布の分散を近似します。ただし、が二乗可積分でない場合、つまり二乗関数の積分が発散する場合、これは $\sigma^2$ $f$ $f$

σ^{2} = \int_{0}^{1} d バツ {（ f （ バツ ） - 私 ）}^{2} = \int_{0}^{1} d バツ f^{2} （ バツ ） - 私^{2} ⟶ \infty

$\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, \left( f(x) - I \right)^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, f^2(x) - I^2 \longrightarrow \infty$

分散も発散することを意味します。

簡単な例は関数です

f （ バツ ） = \frac{1}{\sqrt{バツ}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

そのため及び。 $I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \frac{1}{\sqrt{x}} = 2$ $\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \left( \frac{1}{x} - 2 \right) = \left[ \ln x - 2x \right]_0^1 \rightarrow \infty$

もし有限の一つは平均値の誤差近似することができるであるすることによって、しかしもし正方積分可能ではありませんか？ $\sigma^2$ $E$ $\frac{S}{\sqrt{N}} \approx \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ $f(x)$

monte-carlo numerical-integration

— cschwan
ソース

ません。まず、に分散がないことに注目してから、平均の分散が妥当な推定値であるかどうかを確認します-その存在しない分散です！あるいは、私はこの質問を誤解していますか？おそらく「統計的に独立した推定」によって、あなたは心の積分の異なる（おそらく堅牢な）推定器を持っていますか？

E_{i}

$E_i$

— whuber

分散がないとは言いませんでしたの分散を定義できないことだけです。したがって、問題は、エラーを定義できるかどうか、が妥当な候補かどうかです。統計的に独立しているということは、が異なる乱数を使用して、たとえば、シードが異なる乱数ジェネレータを使用して取得されることを意味します（その場合は正しい用語だと思います）

E

$E$

S^{2}

$S^2$

{\bar{S}}^{2}

$\bar{S}^2$

E_{i}

$E_i$

— cschwan 2013年

「によって分散を定義する」ことができないという意味を説明してください。分散と標準的な定義を使用してこれを理解することはできません。

S^{2}

$S^2$

S^{2}

$S^2$

— whuber

まあ、関数は二乗可積分ではないので、私が間違っていなければ、

は発散するはずです。これが事実である場合、

の定義はそもそも意味がありませんよね？ただし、中心極限定理によって、

は積分の真の値に収束しますが、エラーがなければ、この値だけでは意味がありません（この結果はどのように「良い」のでしょうか？）。

S^{2}

$S^2$

S^{2}

$S^2$

E

$E$

— cschwan 2013年

申し訳ありませんが、CLTではなく「多数の法則」と言うつもりでした。

— cschwan 2013年

尾の漸近性の影響を受けず、したがって二乗可積分性の影響を受けない、分位数範囲などの他のスケール/分散測定値を使用することもできます。加えて、多くの場合、それらは一般的にとにかくより堅牢です。

明らかに、平均化する前の関数のMCサンプリングからの生の出力だけに直接ではなく、それらをリサンプリング/ブートストラップに適用し、その後に平均推定量を適用する必要があります。一般的なL推定器をチェックして、これらの1つを調整してこれらの2つのステップを1つに統合してパフォーマンスを向上させることもできますが、推定量PDFが自然にいくつかの特性を継承する場合でも、2つの分布は混乱しないものとします（四角形の欠如を含む場合があります）統合性）。

— 石英
ソース

+1、私は、多数の法則が二次モーメントを必要としないことを付け加えなければならないので、これは完全に良いアドバイスです。

— mpiktas 2013

ご回答有難うございます！私はそれらの用語を初めて読んだことを認めなければなりませんが、WPでそれらを調べることから、あなたの答えは私を正しい方向に向けていると思います。あなたや他の誰かが主題をより詳細に説明するいくつかの記事や本を提案できますか？

— cschwan 2013

多分私の答えが少し不明瞭だったことに今気づきました。シミュレートしているので、実際にはリサンプリング/ブートストラップは必要ありません。理論的には、代わりにさらに新しいサンプルを追加して、平均推定量の経験的分布を取得できます。リソースが問題である場合にのみ、部分平均を事前に計算して再サンプリングできますが、統計が適切である場合、統計は簡単ではありません。私はブーストラップの専門家ではないので、アドバイスは他の人に任せます。単純な定式化を超える必要がある場合は指摘しておきます。最初に分散対策に集中し、後で最適化します。

— クォーツ2013

提案された平均推定量には、有限の分散はありません。さらにサンプルを追加するかどうかは関係ありません。推定量の経験的分布には、非有限の分散も含まれます。いくつかのシミュレーションでこれを確認できます。

— rajb245

確かに、それが実際に議論されていたことであり、別の分散測定を使用する理由です。

— クォーツ2013