特定のコントラストのテスト：これは確かに難しい問題ですか？

私はこれをmathoverflowに投稿しましたが、誰も答えていません：

統計的に有意なコントラストを識別するSchefféの方法は広く知られています。コントラスト手段の間では、、の集団は、線形結合であるここで $\mu_i$ $i=1,\ldots,r$ $r$ $\sum_{i=1}^r c_i \mu_i$ $\sum_{i=1}^r c_i=0$ 、コントラストのスカラー倍数は本質的に同じコントラストであるため、コントラストのセットは射影空間であると言えます。シェッフェの方法は言う帰無仮説をテストするすべてのこれらの間のコントラスト集団がある、そして有意水準の与えられた、確率で帰無仮説拒否帰無仮説が真であることを考えると。帰無仮説が棄却された場合、Schefféは、彼のテストがどのコントラストがと大きく異なるかを教えてくれると指摘し（私がリンクしているWikipediaの記事ではわかりません）。 $r$ $0$ $\alpha$ $\alpha$ $0$

別の種類の状況で似たようなことができるかどうか知りたいです。単純な線形回帰モデルを検討し、どこが、。 $Y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$ $\varepsilon_i\sim\operatorname{i.i.d.}N(0,\sigma^2)$ $i=1,\ldots,n$

私が考えたい帰無仮説は、異なる種類のコントラストに関するものです。それは部分集合が存在しないと言うように用および用ここで、 $A\subseteq\lbrace 1,\ldots,n\rbrace$ $E(Y_i) = \alpha_1 + \beta x_i$ $i\in A$ $E(Y_i) = \alpha_2 + \beta x_i$ $i\not\in A$ $\alpha_1\ne\alpha_2$ 。サブセットが事前に指定されている場合、通常の2標本がそれを行いますが、すべてのサブセットを考慮し、真の帰無仮説を棄却する確率を抑えるものが必要です。 $A$ $t$

効率が問題でなかった場合は、1つは、このアウトを把握できます。すべてを通過するテストを見つけるの可能性を。それでも問題があります。2つのコントラストは独立していません。私はこれについて異常値検出の専門家に尋ねましたが、彼はそれが組み合わせの悪夢だと言いました。次に、NP困難な問題を減らすことによって、効率的な方法がないことを証明できるかどうかを尋ねました。彼はNP困難な問題から遠ざかっていると言った。 $2^{n-1}-1$

それで、この問題が「難しい」こともそうでないことも証明できますか？

— マイケル・ハーディ
ソース

（1）からの明確化のためのコメントをコピーMOバージョン：ちょうど明確化の小さな点：として私はそれを読んで、

あなたの帰無仮説の下で格、しかし、

と

ではない（関わらずやります

）。それはあなたが意図したものですか？（質問で行われた他の暗示のいくつかと一致しないようです。）

(α_{1}, α_{2}, α_{3}) = (1, 2, 3)

$(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (1,2,3)$

(1, 2, 2)

$(1,2,2)$

(1, 1, 1)

$(1,1,1)$

β

$\beta$

— 枢機

上記のように、帰無仮説は1つの

のみが必要であり、対立仮説は2つの

が必要であるというものです。なぜ3番目のものがあるのか分かりません。また、たった1つの

帰無仮説と、いくつかの

対立仮説を検討することもできます。おそらく、それが代わりにすべきです。

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— マイケルハーディ

ありがとう。おそらく、私は次のようにモデルの元の文ではオフにスローされた

、私が撮ったところ

ための潜在的なタイプミスする

（それがその後変化することが許されたので）。

Y_{i} = α + β x_{i} + ε_{i}

$Y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$

α

$\alpha$

α_{i}

$\alpha_i$

— 枢機

確かに、

が

に依存する場合、過剰パラメーター化されたモデルになり、通常「単純な線形回帰モデル」と呼ばれるものとはまったく異なります。

α

$\alpha$

i

$i$

— マイケルハーディ

これまで誰もこの質問に答えていないことに気づいた...

基本的に、問題はこれです：0-1ベクトルあり、このようなより（かなり）より良いフィット感を与え「大幅に改善」は、平方和の観点から不等式として捉えることができます。問題は次に、不等式に0-1溶液があるかどうかとなる $Z$

y_{i} = α + β x_{i} + γ z_{i} + ϵ_{i}

$y_i = \alpha + \beta x_i + \gamma z_i + \epsilon_i$

y_{i} = α + β x_{i} + ϵ_{i} .

$y_i = \alpha + \beta x_i + \epsilon_i.$

f (z) \geq t .

$f(z) \ge t.$ これは、NP困難であることが知られているセットパーティショニング問題の変形です。

— user3697176
ソース

パーティション分割の問題を実際にこの問題に還元できますか？もしそうなら、それはこれが難しい問題であることを証明するでしょう。

${}\qquad{}$

— マイケルハーディ

この問題は、少なくとも従来のセットパーティション分割問題（SPP）と同じくらい困難です。SPPは、重みの線形結合を取り、合計が0になる式を取得するために、それらに+/- 1を掛けようとします。ここで、不等式を満たす必要があります。これが任意の入力の多項式時間で解ける場合、二分法の引数は、多項式時間でSPPも解けることを示しています。それは正確な削減ではありませんが、近いです。

— user3697176