既知のブレークポイントを持つ区分的線形回帰における勾配の標準誤差

状況

1つの従属と1つの独立変数データセットがあります。発生する既知の/固定されたブレークポイントを使用して、連続的な区分線形回帰を近似したいと思います。ブレイクポインは不確実性なく知られているので、推定したくありません。次に、の形式の回帰（OLS）を これはX K （1、2、... 、K）Y I = β 0 + β 1 X I + β 2マックス（X I - 1、0 ）+ β 3マックス（X I - 2、0 ）+ ... + β K + 1つのマックス（$y$$x$$k$$(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k})$

set.seed(123)
x <- c(1:10, 13:22)
y <- numeric(20)
y[1:10] <- 20:11 + rnorm(10, 0, 1.5)
y[11:20] <- seq(11, 15, len=10) + rnorm(10, 0, 2)

ブレークポイントが発生するとします。$k_1$$9.6$

mod <- lm(y~x+I(pmax(x-9.6, 0)))
summary(mod)

Coefficients:
                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)          21.7057     1.1726  18.511 1.06e-12 ***
x                    -1.1003     0.1788  -6.155 1.06e-05 ***
I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

2つのセグメントの切片と傾きは、最初のセグメントではと番目のセグメントではそれぞれとです。− 1.1 8.5 $21.7$$-1.1$$8.5$$0.27$

ご質問

1. 各セグメントの切片と勾配を簡単に計算するにはどうすればよいですか？これを1回の計算で実行するためにモデルをreparemetrizedできますか？
2. 各セグメントの各勾配の標準誤差を計算する方法は？
3. 2つの隣接する勾配が同じ勾配を持っているかどうか（つまり、ブレークポイントを省略できるかどうか）をテストする方法は？

1. 各セグメントの切片と勾配を簡単に計算するにはどうすればよいですか？

各セグメントの傾きは、現在の位置までのすべての係数を単純に加算することによって計算されます。したがって、での勾配推定値は です。− 1.1003 + 1.3760 = $x=15$$-1.1003 + 1.3760 = 0.2757\,$

切片は少し難しいですが、係数の線形結合です（ノットを含む）。

この例では、2番目の線が最初の線とで出会うため、赤い点はの最初の線にあります。2番目の線は勾配のポイントを通過するため、その切片はです。もちろん、これらのステップをまとめることができ、2番目のセグメントの切片まで単純化されます=。$x=9.6$$21.7057 -1.1003 \times 9.6 = 11.1428$$(9.6, 11.428)$$0.2757$$11.1428 - 0.2757 \times 9.6 = 8.496$$\beta_0 - \beta_2 k_1 = 21.7057 - 1.3760 \times 9.6$

これを1回の計算で実行するようにモデルを再パラメーター化できますか？

ええ、そうですが、モデルからそれを計算するだけの方がおそらく一般的には簡単でしょう。

2.各セグメントの各勾配の標準誤差を計算する方法は？

推定は回帰係数線形結合でありは1と0で構成されているため、分散は です。標準誤差は、分散と共分散の項の合計の平方根です。$a^\top\hat\beta$$a$$a^\top\text{Var}(\hat\beta)a$

たとえば、あなたの例では、2番目のセグメントの勾配の標準誤差は次のとおりです。

Sb <- vcov(mod)[2:3,2:3]
sqrt(sum(Sb))

代わりに、マトリックス形式で：

Sb <- vcov(mod)
a <- matrix(c(0,1,1),nr=3)
sqrt(t(a) %*% Sb %*% a)

3. 2つの隣接する勾配が同じ勾配を持っているかどうか（つまり、ブレークポイントを省略できるかどうか）をテストするにはどうすればよいですか？

これは、そのセグメントの表の係数を調べることによってテストされます。この行を参照してください：

I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***

それが9.6 での傾きの変化です。その変化が0と異なる場合、2つの勾配は同じではありません。したがって、2番目のセグメントが最初のセグメントと同じ勾配を持つ検定のp値は、その線の終わりにあります。

質問1に答える私の素朴なアプローチ：

mod2 <- lm(y~I((x<9.6)*x)+as.numeric((x<9.6))+
             I((x>=9.6)*x)+as.numeric((x>=9.6))-1)
summary(mod2)

#                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# I((x < 9.6) * x)        -1.1040     0.2328  -4.743 0.000221 ***
# as.numeric((x < 9.6))   21.7188     1.3099  16.580 1.69e-11 ***
# I((x >= 9.6) * x)        0.2731     0.1560   1.751 0.099144 .  
# as.numeric((x >= 9.6))   8.5442     2.6790   3.189 0.005704 ** 

ただし、このようにすると、統計（特に自由度）が正しく行われているかどうかはわかりません。