フィッシャー情報マトリックスの存在条件

異なる教科書では、フィッシャー情報マトリックスの存在に関する異なる条件を引用しています。そのような条件のいくつかを以下にリストします。それぞれの条件は、「フィッシャー情報マトリックス」の定義のすべてではなく一部に表示されます。

1. 標準的な最小限の条件セットはありますか？
2. 以下の5つの条件のうち、どれを廃止できますか？
3. 条件の1つをなくすことができる場合、そもそもその条件が含まれていたと考えるのはなぜですか？
4. 条件の1つで解決できない場合、それを指定しなかった教科書は誤った、または少なくとも不完全な定義を与えたということですか？

1. ザックス、統計的推論の理論（1971）、p。194
   マトリックスすべてのための正定のθ ∈ Θ。 $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. Schervish、Theory of Statistics（1997、corr。2nd print）、Definition 2.78、p。111
   集合すべてについて同じですθ。 $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. 
   $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. 
   $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. 
   $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

これと比較して、ここにリーマンとカセッラの条件の完全なリストがあります。ポイント推定の理論（1998）。p。124：

1. $\Theta$
2. $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$

そしてここに、Barra、Notions fondamentales de statistique mathematique（1971）の条件の完全なリストがあります。定義1、p。35：

$\theta\in\Theta$$=0$

$\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

すべてのリファレンスにアクセスできるわけではありませんが、いくつかのポイントについていくつかのコメントを指摘したいと思います。

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$。この平等はしばしば役立ちますが、必ずしも必要ではありません。

• FIMが実際に存在する一部のモデルを破棄せずに、FIMの存在に関する一般的な条件を確立することは困難です。たとえば、微分可能性条件は、FIMの存在に必要な条件ではありません。この例は、二重指数モデルまたはラプラスモデルです。対応するFIMは明確に定義されていますが、密度はモードで二重に微分できません。二重に微分可能な他の一部のモデルは、FIMの動作に問題があり、追加の条件が必要です（このペーパーを参照）。

非常に一般的な十分条件を思い付くことができますが、それらは厳しすぎるかもしれません。FIMの存在に必要な条件は完全には研究されていません。その場合、最初の質問に対する答えは簡単ではないかもしれません。