一様分布のユークリッドノルムの裾境界

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一様に選択された要素のユークリッドノルムの頻度に関する既知の上限所定のしきい値よりも大きくなりますか？ $\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$

私は主に、がよりはるかに小さい場合に指数関数的にゼロに収束する範囲に関心があります。 $n$ $d$

uniform extreme-value bounds

これは、しきい値ハイパースフィアのボリュームを計算しているだけ- に答えるのは簡単ですが、は計算が難しくなります。あなたはそれらの状況のどちらにありますか？

t \leq n

$t\le n$

t > n

$t \gt n$

— whuber

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が必要。

t > n

$\: t > n \;\;$

$\;\;\;\;$

— Ricky Demer 2013年

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現時点では詳細な回答を投稿する時間はありませんが、それまでのヒントは次のとおりです。を、標準のバウンドテクニックを使用した同じ平均の二項確率変数と比較します。これが得られますフォームのバインド、適切なためとに提供あなたは何の平均について考えたら、理にかなっていますユークリッド距離の2乗です。それが一部に役立つことを願っています。

\sum_{k} (X_{k} / n)^{2}

$\sum_k (X_k/n)^2$

a^{d} e^{- b t^{2}}

$a^d e^{-b t^2}$

a

$a$

b

$b$

t > n \sqrt{d (n + 1) / 3 n}

$t > n \sqrt{d (n+1)/3n}$

— 枢機卿2013年

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直感的に、均一な分布からランダムにサンプリングされた座標を持つ点は、次元の呪いのために、モジュラスが小さいはずです。が増加すると、体積からランダムにサンプリング点確率次元単位球よりも短い距離を持っているかに等しいであろう中心からである指数関数的に速く低下します。 $d$ $d$ $\epsilon$ $\epsilon^{d}$

枢機卿の解決策の完全版をあげます。

レッツ整数上の一様分布、ディスクリートの一つの独立したコピーで。明らかに、であり、ことが簡単に計算され $X_i$ $-n \leqslant k \leqslant n$ $\mathbb{E}[X] = 0$ $\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

およびその思い出してください $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$ $\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

したがって、 $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

$\mathbb{E}[X_i^4]$ 計算

してみましょう $Y_i = X_i^2$

\sum_{i = 1}^{d} Y_{i} = (Distance of Randomly Sampled Point to Origin)^{2}

$\sum_{i=1}^d Y_i = (\text{Distance of Randomly Sampled Point to Origin})^2$

明日終了しますが、この変数の平均は約であり、ポイントの未満の割合の距離は最大距離の半分未満であることがわかります $\frac{n^2}{3}$ $2^{-d}$ $\frac{dn^2}{2}$

— マイケルK
ソース

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すべての場合超える独立した個別の制服続く、あるその後、としてから選択する値は、その平均値が0である、我々はすべてを持っている。 $X_i$ $[-n, n]$ $2n+1$ $i$

$\mathbb{E}(X_i)= 0$ 、および

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

次に、がベクトルの2乗ユークリッドノルムの場合、独立性のため、次のようになり。 $S$ $(X_1, X_2, ... X_d)$ $X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

ここからは、マルコフの不等式を使用できます： $\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

この境界はとともに上昇します。これは、が大きくなると、固定しきい値と比較するとユークリッドノルムが大きくなるため、正常です。 $d$ $d$ $a$

ここで、を「正規化された」二乗ノルムとして定義すると（どのように大きくても期待値は同じです）、次のようになります。 $S^*$ $d$

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

少なくともこの境界はで上昇しませんが、それでも指数関数的に減少する境界の探求は解決されません。これはマルコフの不等式の弱さが原因であるのではないかと思います... $d$

私はあなたのベクトルの平均ユークリッドノルム前述したように直線的に上昇するため、正確なご質問をすべきだと思う、あなたが上位行き見つけることは非常に低いですに減少していること固定されたしきい値。 $d$ $\mathbb{P}(S > a)$ $d$ $a$

— ジュボ
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