モデルのAICとそのログ変換バージョンの比較

私の質問の本質はこれです：

LET平均値を有する多変量正規ランダム変数でと共分散行列。ましょう、すなわち。観測された実現に適合したモデルのAICと、観測された実現に適合したモデルのAICを比較するにはどうすればよいですか？$Y \in \mathbb{R}^n$$\mu$$\Sigma$$Z := \log(Y)$$Z_i = \log(Y_i), i \in \{1,\ldots,n\}$$Y$$Z$

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私の最初のやや長い質問：

LET多変量正規確率変数です。適合したモデルとに適合したモデルを比較したい場合、それらの対数尤度を調べることができます。ただし、これらのモデルはネストされていないため、対数尤度（およびAICなど）を直接比較することはできませんが、変換する必要があります。$Y \sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma)$$Y$$\log(Y)$

私があれば知っている関節のPDFを有するランダム変数であるとIF一対一の変換にと、のpdfは与えられますここで、Jは変換に関連付けられたヤコビアンです。$X_1,\ldots,X_n$$g(x_1,\ldots,x_n)$$Y_i = t_i(X_1,\ldots,X_n)$$t_i$$i \in \{1,\ldots,n\}$$Y_1,\ldots,Y_n$

$$f(y_1,\ldots,y_n)=g(t_1^{-1}(y),\ldots,t_n^{-1}(y))\det(J)$$ $J$

単に変換ルールを使用して比較する必要がありますか

$$l(Y) = \log(\prod_{i=1}^{n}\phi(y_i;\mu,\Sigma))$$ to $$l(\log(Y))=\log(\prod_{i=1}^{n}\phi(\log(y_i);\mu,\Sigma))$$

または私にできることは他にありますか？

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[編集]最後の2つの式に対数を入れるのを忘れました。

2つの異なるデータセット（とに適合する場合、AICまたはBICを比較することはできません。同じデータセットに適合する場合にのみ、AICまたはBICに基づいて2つのモデルを比較できます。見てい役立ち情報論的アプローチ：モデルの選択とマルチモデル推論（バーナムとアンダーソン、2004）。彼らは、81ページで私の答えに言及しました（セクション2.11.3応答変数の変換）：$Y$$Z$

調査者は、すべての仮説が同じ応答変数を使用してモデル化されていることを確認する必要があります（たとえば、モデルのセット全体がlog（y）に基づいている場合、問題は作成されません。応答変数の混合が間違っています）。

ちなみに、AICまたはBIC基準を使用するために、モデルを必ずしもネストする必要はありません（同じ参照、88ページ、セクション2.12.4非ネストモデル）。これは、BICを使用する利点の1つです。

赤池（1978、pg。224）は、モデル比較を可能にするために、変換された結果変数の存在下でAICを調整する方法を説明しています。彼は次のように述べています。「変数を変換する効果は、AICに対応するヤコビアンによる尤度の乗算によって単純に表されます...場合、-2、ここで合計はわたっています。$log\{y(n)+1\}$$\cdot \sum log\{y(n)+1\}$$n = 1,2, ..., N$

赤池、H。1978。「時系列モデルの可能性について」、王立統計学会誌、シリーズD（統計学者）、27（3/4）、pp。217–235。