同等性の帰無仮説

仮定ノーマルから単純無作為サンプルです分布。 $X_1, X_2, \, ... \, , X_n$ $(\mu,\sigma^2)$

次の仮説検定に興味があります与えられた定数。

H_{0} : | μ | \leq c H_{1} : | μ | > c,

$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$

c > 0

$c > 0$

2つの片側検定（TOST）を、nullとある通常の生物学的同等性試験の状況に類似した方法で実行することを考えていましたですが、これが理にかなっているのか、正しいのかわかりません。 $t$ $|\mu| \ge c$

私のアイデアは、片側テストを実行することですおよびおよびの1つがグローバル帰無仮説を棄却 -値が有意水準よりも小さい。

H_{01} : μ \leq c H_{11} : μ > c

$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$

H_{02} : μ \geq - c H_{12} : μ < - c,

$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$

p

$p$

α

$\alpha$

前もって感謝します！

編集：

私はこれについて少し考えていましたが、私が提案したアプローチには有意水準がありません。 $\alpha$

真の値と仮定しでと知られています。 $\mu$ $\mu_0$ $\sigma^2$

最初のテストでnullを拒否する確率は、ここで、は正規分布の標準累積分布関数の場合、は。

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{01}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}),

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$

Φ

$\Phi$

z_{1 - α}

$z_{1-\alpha}$

Φ (z_{1 - α}) = 1 - α

$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

場合、。次に、場合、です。または、場合、。 $\mu_0 = c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$ $\mu_0 > c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$ $\mu_0 < c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

2番目のテストでnullを拒否する確率は、

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{02}) = Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}}) .

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$

再び、もし我々は。同様に、場合、。最後に、場合、。 $\mu_0 = -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$ $\mu_0 > -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$ $\mu_0 < -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

2つのテストの拒否領域は互いに素であるので、を拒否する確率はです。 $H_0$

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{0}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}) + Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}})

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$

したがって、場合、は（グローバル）帰無仮説を棄却する確率の上限です。したがって、私が提案したアプローチはあまりにも自由主義的でした。 $\mu \in [-c,c]$ $2\alpha$

私が間違っていない場合、同じ2つのテストを実行し、そのうちの1つの値がより小さい場合はnullを拒否することにより、有意水準を達成できます。分散が不明であり、を適用する必要がある場合も、同様の議論が当てはまります。 $\alpha$ $p$ $\alpha/2$ $t$

— Vic101
ソース

編集は正しいトラックにあります:-)。

— whuber

非常に興味深い質問!!

あなたは論理的帰結、すなわち含意条件を使用しています。この含意条件は、古典的論理のまさに基礎を形成し、前提からの結果の推論または演繹を保証します。

あなたの提案の背後にある理由は次のとおりです。

場合伴う、その後の観測データはに対してより多くの証拠を描く必要がありますより。 $H_0$ $H_0'$ $H_0$ $H_0'$

あなたの補助仮説の面ではと、我々が持っているである、必要ともとは伴います。したがって、含意条件によれば、に対してまたはよりも多くの証拠を観察する必要があります。次に、または計算されたp値のいずれかが十分に小さい場合、計算されたp値はさらに小さくなると。 $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{0}$ $H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_0$

ただし、この論理的な推論はp値には有効ではありません。つまり、p値は論理的な結果を尊重しません。各p値は特定の帰無仮説の下で構築されます。したがって、異なる帰無仮説のp値は異なるメトリックの下で計算されます。このため、p値はパラメーター空間（または帰無仮説の空間）に対する論理的な推論を尊重できません。

p値が含意条件に違反する例は、Schervish（1996）およびPatriota（2013）に示されています。後者の紙二変量正規分布から回帰モデルから示す例（それぞれ、ページ5と6に、実施例1.1および1.2を参照）。Eran Ravivは、2変量の場合のRコードのアルゴリズムを提供します。これらの例からの学習は次のとおりです。関心のある帰無仮説のp値を直接計算する必要があります。Schervish（1996）は、例のおよび場合のp値の式を提供します。204ページの式（2）を参照してください。p値を計算する場合は、あなたの場合。 $n=1$ $\sigma^2 = 1$

Patriota（2013）は、論理的帰結を尊重する一般的な帰無仮説（複合帰無仮説または単純な帰無仮説）をテストするための新しい証拠尺度を提案しています。この尺度は、論文ではS値と呼ばれています。あなたの例では手順は比較的簡単です：

（漸近的）の（1-）信頼区間を見つける：、ここでは標本平均、は標本分散、は標準正規分布の分位数で、はサンプルサイズです。 $\alpha$ $\mu$ $I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$ $\bar{x}$ $s^2$ $z_{{\alpha}/{2}}$ ${\alpha}/{2}$ $n$
値検索の振幅れる最小であると共通に少なくとも1つの要素を持つ（すなわち、の境界）。このは値です。 $\alpha^*$ $I(\mu, \alpha^*)$ $\{-c, c\}$ $[-c,c]$ $\alpha^*$ $s$
一方、場合、観測されたサンプルは帰無仮説裏付けられています ; 場合 -値が十分に小さいです、あなたはNULLを受け入れることができます。一方、場合、観測されたサンプルは帰無仮説に対する情報を提供しています。場合 -値は、あなたがnullを拒否することができる十分に小さいです。それ以外の場合は、nullを拒否または受け入れないでください。 $\bar{x} \in [-c,c]$ $H_0: |\mu|\leq c$ $s$ $\bar{x} \not \in [-c,c]$ $H_0$ $s$

通知、その場合各 -値が極めて小さい、対立仮説は非常に遠く最大もっともらしい値であることが、この手段、。もし各 -値が極めて小さい、帰無仮説は極めて遠く最大もっともらしい値、からなることをこの手段。信頼区間と関心のある帰無仮説を表す図を描いて、結論をよりよく理解してください。詳細については、原著論文Patriota（2013）を参照してください。 $\bar{x}\in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$ $\bar{x}\not \in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$

この値を使用してnullを受け入れるまたは拒否するための客観的なしきい値を見つける方法は、未解決の問題です。帰無仮説を受け入れることができるので、このアプローチは素晴らしいです。これは、観測されたサンプルがヌルで確証され、代替から遠く離れている場合は常に意味があります。あなたの例では、それは、、およびます。データ密度が（標準誤差の10倍）に非常に集中していることを確認するのは非常に簡単です。との交差が空でないためには、99900の標準エラーが必要です。したがって、それは受け入れるのに十分公正です $s$ $c = 1000$ $\bar{x} = 1$ $s^2 = 1$ $n=10000$ $[0.9, \ 1.1]$ $[-1000, \ 1000]$ $H_0: |\mu| \leq c$ この場合は。

参照：

Patriota、AG（2013）。一般的な帰無仮説の証拠の古典的な尺度、ファジーセットとシステム、233、74–88

シェルビッシュ、MJ（1996）。P値：それらが何で何がそうでないか、アメリカの統計学者、50、203–206。

— アレクサンドル・パトリオタ
ソース