2つのガウス過程をどのように比較しますか？

Kullback-Leibler発散は2つの確率密度関数を比較するための指標ですが、2つのGPの $X$ とを比較するためにどのような指標が使用され $Y$ ますか？

gaussian-process metric

— プシュカル
ソース

d (X, Y) = E [sup_{t} | X (t) - Y (t) |]

$d(X,Y)=\mathbb{E}\left[ \sup_t |X(t)-Y(t)| \right]$

— 禅

@Zen：時間がある場合は、この距離メトリックについて詳しく知りたいと思います。

— ニールG

こんにちは、ニール。私はそれについてあまり知りません。以下の私の答えをご覧ください。

— 禅

回答:

ガウス過程の分布 $\mathcal{X}\to\mathbb{R}$ は、無限に対する多変量ガウスの拡張であることに注意してください $\mathcal{X}$ 。したがって、積分することにより、GP確率分布間のKL発散を使用できます $\mathbb{R}^\mathcal{X}$ 。

D_{K L} (P | Q) = \int_{R^{X}} \log \frac{d P}{d Q} d P .

$D_{KL}(P|Q)=\int_{\mathbb{R}^\mathcal{X}} \log \frac{dP}{dQ} dP\,.$

MCメソッドを使用して、GP分布に従ってプロセスを繰り返しサンプリングすることにより、離散化されたこの量を数値的に近似できます。収束速度が十分に良いかどうかわかりません... $\mathcal{X}$

がで有限の場合、あなたは、多変量正規分布のための通常のKLダイバージェンスにフォールバック： $\mathcal{X}$ $|\mathcal{X}|=n$

D_{K L} (G P (μ_{1}, K_{1}), G P (μ_{2}, K_{2})) = \frac{1}{2} (t r (K_{2}^{- 1} K_{1}) + (μ_{2} - μ_{1})^{⊤} K_{2}^{- 1} (μ_{2} - μ_{1}) - n + \log \frac{| K_{2} |}{| K_{1} |})

$D_{KL}\big(\mathcal{GP}(\mu_1,K_1), \mathcal{GP}(\mu_2,K_2)\big) = \frac 1 2 \Big(tr(K_2^{-1}K_1) + (\mu_2\!-\!\mu_1)^\top K_2^{-1}(\mu_2\!-\!\mu_1)-n+\log\frac{|K_2|}{|K_1|}\Big)$

— エミール
ソース

あなたが言及した2つの平均（mu1とmu2）をどのように計算できますか。または、ガウス過程では通常のようにゼロにすべきですか？

— マラー・ザキロブ

覚えている場合、平均関数を有するガウスプロセスであり及び共分散関数、その後、すべてのために、ランダムベクトルは、平均ベクトル $X:T\times \Omega\to\mathbb{R}$ $m$ $K$ $t_1,\dots,t_k\in T$ $(X(t_1),\dots,X(t_k))$ と共分散行列、我々は、共通の略語を使用した、 $(m(t_1),\dots,m(t_k))$ $\Sigma=(\sigma_{ij})=(K(t_i,t_j))$ 。 $X(t)=X(t,\,\cdot\,)$

各実現は、そのドメインがインデックスセットである実関数です。仮定する。2つのガウス過程と与えられると、2つの実現間の1つの共通の距離 $X(\,\cdot\,,\omega)$ $T$ $T=[0,1]$ $X$ $Y$ および $X(\,\cdot\,,\omega)$ である。したがって、2つのプロセスと間の距離をとして定義するのが自然なようです $Y(\,\cdot\,,\omega)$ $\sup_{t\in[0,1]} |X(t,\omega) - Y(t,\omega)|$ $X$ $Y$ この距離の分析式があるかどうかはわかりませんが、次のようにモンテカルロ近似を計算できると思います。いくつかの細かいグリッドを修正、およびサンプルを描く及び通常のランダムベクトルから

d (X, Y) = E [sup_{t \in [0, 1]} | X (t) - Y (t) |] . (*)

$d(X,Y) = \mathbb{E}\!\left[\sup_{t\in[0,1]} \left| X(t) - Y(t)\right|\right] \, . \qquad (*)$

0 \leq t_{1} < \dots < t_{k} \leq 1

$0\leq t_1<\dots<t_k\leq 1$

(x_{i 1}, \dots, x_{i k})

$(x_{i1},\dots,x_{ik})$

(y_{i 1}, \dots, y_{i k})

$(y_{i1},\dots,y_{ik})$

および

、それぞれ

。

よる

近似

(X (t_{1}), \dots, X (t_{k}))

$(X(t_1),\dots,X(t_k))$

(Y (t_{1}), \dots, Y (t_{k}))

$(Y(t_1),\dots,Y(t_k))$

i = 1, \dots, N

$i=1,\dots,N$

d (X, Y)

$d(X,Y)$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} max_{1 \leq j \leq k} | x_{i j} - y_{i j} | .

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \max_{1\leq j\leq k} |x_{ij}-y_{ij}| \, .$

— 禅
ソース

各ベクトルからどのようにサンプリングしますか？各GPで平均値のみをサンプリングする場合、分散を考慮しません。それ以外の場合は、一貫性のあるサンプリング手法を考案する必要があります。

— プシュカル

これは優れたリソースです：gaussianprocess.org/gpml/chapters

— 禅

あなたもこの質問にすべて答え読むことができる：stats.stackexchange.com/questions/30652/...

— 禅

d (X, X) \neq 0

$d(X,X) \neq 0$

d (G_{1}, G_{2}) = E_{X \sim G_{1}, Y \sim G_{2}} [sup_{t} | X (t) - Y (t) |]

$d(G_1,G_2)=\mathbb{E}_{X\sim G_1, Y\sim G_2}[\sup_t |X(t)-Y(t)|]$ , and we have that

E_{X \sim G, Y \sim G} sup_{t} | X (t) - Y (t) | > 0

$\mathbb{E}_{X\sim G, Y\sim G} \sup_t |X(t)-Y(t)| > 0$ for non degenerated Gaussian process

G

$G$ .

— Emile

@Emile: how is it that

d (X, X) \neq 0

$d(X,X)\neq 0$ using definition

(*)

$(*)$ ?

— Zen