FDRの制御がFWERの制御よりも厳しくないのはなぜですか？

Wikipediaのように、FDRの制御はFWERの制御よりも厳しくないことを読みました。

FDR制御手順は、Familywise Error Rate（FWER）手順（Bonferroni修正など）と比較して、誤った発見に対する厳格な制御を行いません。これにより、タイプIのエラー率が増加しますが、パワーが増加します。つまり、効果があるという帰無仮説を受け入れるべきときに拒否します。

しかし、数学的にどのように真実であることが示されているのだろうか？

FDRとFWERの間に何らかの関係がありますか？

確かに、@ cardinalは、論文がそれと同じくらい明確であることはまったく正しいです。そのため、この記事にアクセスできない場合に備えて、Benjamini–Hochbergが主張する方法を少し詳しく説明します。

FDR は、すべての拒否rに対する偽拒否vの割合の期待値です。ここで、rは明らかに、偽の拒否と正しい拒否の合計です。後者の呼び出し秒。$Q_e$$v$$r$$r$$s$

要約すると、（ランダム変数には大文字を、実現値には小文字を使用して）、

$$Q_e=E\left(\frac{V}{R}\right)=E\left(\frac{V}{V+S}\right)=:E\left(Q\right).$$

R = 0の場合、取ります。$Q=0$$R=0$

現在、2つの可能性があります。すべての nullが真であるか、それらのm 0 < mのみが真です。前者の場合、正しい拒否はできないため、r = vです。したがって、任意の拒絶（存在する場合、R ≥ 1）、Q = 1、そうでなければQ = 0。したがって、$m$$m_0<m$$r=v$$r\geq 1$$q=1$$q=0$

$$\newcommand{\FDR}{\mathrm{FDR}}\newcommand{\FWER}{\mathrm{FWER}}\FDR=E(Q)=1\cdot P(Q=1)+0\cdot P(Q=0)=P(Q=1)=P(V \geq 1)=\FWER$$

したがって、この場合はであり、F D Rを簡単に制御するプロシージャはF W E Rも制御し、その逆も同様です。$\FDR=\FWER$$\FDR$$\FWER$

ここで第二の場合には場合、V > 0（そう少なくとも一つの本人拒否がある場合）、我々は明らかに（これも有する画分である持っているVこと分母における）V / R ≤ 1。これは、少なくとも一つの本人拒否がある場合は値1をとるインジケータ機能、ということを意味1 V ≥ 1が未満になることはありませんQ、1 V ≥ 1 ≥ Q。ここで、Eの単調性により、不平等の両側に期待を寄せてください。$m_0<m$$v>0$$v$$v/r\leq 1$$\mathbf 1_{V\geq 1}$$Q$$\mathbf 1_{V\geq 1}\geq Q$$E$ 不平等をそのまま残し、

$$E(\mathbf 1_{V\geq 1})\geq E(Q)=\FDR$$

インジケータにおける事象の確率であるインジケータ関数の期待値は、我々は再び、F W E Rを。$E(\mathbf 1_{V\geq 1})=P(V\geq 1)$$\FWER$

我々が制御することを手順を有する場合したがって、の意味でそのF W E R ≤ α、我々はそれを持っている必要がありF D R ≤ α。$\FWER$$\FWER\leq \alpha$$\FDR\leq\alpha$

逆に、あるαで制御すると、かなり大きなF W E Rが発生する場合があります。直観的には、テストされた仮説の潜在的に大きな合計からゼロ以外の予想される誤棄却率（F D R）を受け入れることは、少なくとも1つの誤棄却（F W E R）の非常に高い確率を意味します。$\FDR$$\alpha$$\FWER$$\FDR$$\FWER$

したがって、制御のみが必要な場合、手順はそれほど厳しくはなく、電力にも適しています。これは、基本的な仮説検定と同じ考え方です。5％レベルでテストする場合は、1％レベルでテストする場合よりも頻繁に拒否します（正解と偽ヌルの両方）。$\FDR$