ディリクレプロセスの濃度パラメーターに事前計算を行う

これのほとんどはバックグラウンドです。ディリクレプロセスの混合物についてすでに十分に知っている場合は、最後までスキップしてください。すなわち聞かせて、私はディリクレ過程の混合物から来ていくつかのデータをモデル化していたととの条件付きF前提とY I I I D 〜 ∫ F （Y | θ ）F （Dのθを）$F \sim \mathcal D(\alpha H)$$F$

$$Y_i \stackrel {iid}{\sim} \int f(y | \theta) F(d\theta).$$

ここでおよびα Hは、前のベース尺度です。それは、各観察のためかのことが判明Yを、私、私が知っている場合、関連する潜在θ I、の可能性α、このモデルではL （α | T ）α α T Γ （α $\alpha > 0$$\alpha H$$Y_i$$\theta_i$$\alpha$ Tは、別個の値の数であり、θI（ランダム測度Fは、ほぼ確実に離散的です）。EscobarとWestは、ガンマ事前分布を使用してαをサンプリングする次のスキームを開発しました。まず、彼らが書くπ（α|T）απ（α）αTΓ（α

$$L(\alpha | t) \propto \frac{\alpha^t\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)}$$ $t$$\theta_i$$F$$\alpha$Bは（⋅ 、⋅ ）ベータ関数です。そして、その後、注意して、私たちは潜在パラメータを導入した場合 X 〜ベータ版を（α + 1 、N $$\pi(\alpha | t) \propto \pi(\alpha) \frac{\alpha^t\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)} \propto \pi(\alpha)\alpha^{t - 1}(\alpha + n){B(\alpha + 1, n)} \\= \pi(\alpha)\alpha^{t - 1} (\alpha + n) \int_0^1 x^\alpha(1 - x)^{n - 1} \ dx,$$ $B(\cdot, \cdot)$$X \sim \mbox{Beta}(\alpha + 1, n )$ 尤度はガンマ分布の混合の形をしており、これを使用してギブスサンプラーを書き留めます。

$$L(\alpha | t) \propto \frac{\alpha^t \Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)} = \frac{\alpha^t \Gamma(n)\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)\Gamma(n)} = \alpha^t B(\alpha, n) \Gamma(n) \\ \propto \alpha^t \int_0 ^ 1 x^{\alpha - 1} (1 - x)^{n - 1} \ dx,$$ $X \sim \mbox{Beta}(\alpha, n)$

$\alpha$$a$$a / b$

$$\pi(\alpha | t) \propto \alpha^{a + t - 2} (\alpha + n) e^{-b\alpha} \int_0 ^ 1 x^{\alpha} (1 - x)^{n - 1} \ dx$$ $X$ $$\pi(\alpha, x | t) \propto \alpha^{a + t - 2} (\alpha + n) e^{-b\alpha}x^{\alpha}(1 - x)^{n - 1}.$$ $\mbox{Beta}(\alpha + 1, n)$$X$$\mathcal G(a + t, b - \log(x))$$\mathcal G(a + t - 1, b - \log(x))$$\alpha$

$\mbox{Beta}(\alpha, n)$$X$$\mathcal G(a + t, b - \log(x))$$\alpha$

あなたの書いたものがEscobarやWestと根本的に違うとは思いません。

$$\begin{eqnarray*} \pi(\alpha|t) &\propto& \pi(\alpha)\pi(t|\alpha) = \pi(\alpha)L(\alpha|t) \\ &\propto& \pi(\alpha)\alpha^t\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha+n)} \\ &\propto& \pi(\alpha)\alpha^t\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha+n)} \\ &=& \pi(\alpha)\alpha^tB(\alpha,n) \\ &=& \pi(\alpha)\alpha^{t-1}(\alpha+n)B(\alpha+1,n) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \alpha B(\alpha,n) &=& \alpha \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha + n)} = \frac{(\alpha\Gamma(\alpha))\Gamma(n)(\alpha+n)}{(\Gamma(\alpha + n)(\alpha+n))} = (\alpha+n) \frac{\Gamma(\alpha + 1)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha + n + 1)} \\ &=& (\alpha+n)B(\alpha+1,n) \end{eqnarray*}$$ $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$

ベータ関数の項しかなく、ベータとガンマの積がないので、彼らはあなたの処方よりも彼らの処方を好んだと思いますが、私は間違っているかもしれません。私はあなたが書いた最後の部分を完全には理解していませんでした。