ハザード率、確率密度、生存関数の間の関係の証明

11

私は生存分析について少し読んでおり、ほとんどの教科書はこう述べています

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t} =\frac{f(t)}{1-F(t)} (1)$

ここで、 $h(t)$ はハザード率、

$f(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t)}{ \Delta t}(2)$ 密度関数、

$F(t)=Pr(T<t) (3)$ および

$S(t)=Pr(T>t)=1-F(t) (4)$

また彼らはそれを述べています

$S(t)= e^{- \int_0^t h(s)ds } (5)$

ほとんどの教科書（少なくとも私が持っているもの）は、（1）と（5）のどちらの証明も提供していません。（1）はなんとか乗り越えたと思います

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t}=$ $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t ) P(t < T \leq t+\Delta t)}{ P(T \geq t)\Delta t}$ これは、（2）と（4）は $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )f(t)}{S(t)\Delta t}$ が、 $P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )=1$ なので、 $h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}$

どうやって証明するのですか（5）？

survival

— 在庫がありません
ソース

5

が導関数であることを知っていますか？

h (t)

$h(t)$

- \log S (t)

$- \log S(t)$

— ステファン・ローラン

ええ、私もそれが

— わかり

（1）の証明では、まず分子の2番目の確率が1であると主張し、次に（2）と（4）を適用します。

— ocram 2013年

なぜ順序が重要なのですか？

— nostock

1

順序を維持する場合は、（proba自体ではなく）の制限が等しいことを主張する必要があります。とにかく、これは詳細です...

Δ t \to 0

$\Delta t \rightarrow 0$

1

$1$

— ocram 2013年

15

の導関数はしたがって、@StéphaneLaurentで述べたように、ここで、最後の等式は（1）から続きます。 $S$

\frac{d S （ t ）}{d t} = \frac{d （ 1 - F （ t ） ）}{d t} = - \frac{d F （ t ）}{d t} = - f （ t ）

$\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}} = \frac{\mathrm{d}(1 - F(t))}{\mathrm{dt}} = - \frac{\mathrm{d}F(t)}{\mathrm{dt}} = -f(t)$

- \frac{d \log (S (t))}{d t} = \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)} = \frac{f (t)}{S (t)} = h (t)

$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)} = \frac{f(t)}{S(t)} = h(t)$

前の関係の両側の積分をとると、られるため、

- \log (S (t)) = \int_{0}^{t} h (s) d s

$-\log(S(t)) = \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s$

S (t) = \exp {- \int_{0}^{t} h (s) d s}

$S(t) = \exp \left\{- \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s\right\}$

これが方程式（5）です。指数関数の積分部分は、積分ハザードであり、累積ハザード [ ] とも呼ばれます。 $H(t)$ $S(t) = \exp(-H(t))$

— ocram
ソース

あなたは、もう少し明示してくださいでした

- \frac{d ログ （ S （ t ） ）}{d t} = \frac{- \frac{d S （ t ）}{d t}}{S （ t ）}

$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)}$

— nostock 2013年

1

これがチェーンのルールです。我々はよう

\frac{d \log (x)}{d x} = \frac{1}{x}

$\frac{\mathrm{d}\, \log(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x}$

\frac{d ログ （ f （ バツ ） ）}{d バツ} = \frac{\frac{d f （ バツ ）}{d バツ}}{バツ}

$\cfrac{\mathrm{d}\, \log(f(x))}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}\,f(x)}{\mathrm{d}x}}{x}$

— ocram

最後の方程式の右辺のxをf（x）にする必要がありますか？つまり、y = log S（t）を微分します。u = S（t）したがって、ます。さらに、なので、ます。チェーンルールにより、

\frac{d あなた}{d t} = d S （ t ） / d t = S^{』} （ t ）

$\frac{du}{dt} =dS(t)/dt = S'(t)$

y = l o g S (t) = l o g (u)

$y = log S(t) = log(u)$

\frac{d y}{d あなた} = \frac{1}{あなた} = \frac{1}{S （ t ）}

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{S(t)}$

\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d あなた} \frac{d あなた}{d t} = \frac{1}{S （ t ）} S^{』} （ t ） = \frac{S^{』} （ t ）}{S （ t ）}

$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dt} = \frac{1}{S(t)} S'(t) = \frac{S'(t)}{S(t)}$

— user1420372

@ user1420372：はい、その通りです。f（x）である必要があります。

— ocram 2017年

3

h （ t ） = \frac{f （ t ）}{S （ t ）}

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}\$

= \frac{f （ t ）}{1 - F （ t ）}

$= \frac{f(t)}{1-F(t)}$

= \frac{f （ t ）}{1 - \int_{0}^{t} f （ s ） d s}

$= \frac{f(t)}{1- \int^t_0{f(s) ds}}$

\int_{0}^{t} h （ s ） d s = \int_{0}^{t} \frac{f （ s ）}{1 - \int_{0}^{t} f （ s ） d s} d s

$\int^t_0 h(s) ds = \int^t_0 \frac{f(s)}{1- \int^t_0{f(s)ds}}ds$

= - \ln [1 - \int_{0}^{t} f （ s ） d s]_{0}^{t} + c

$= -\ln [1- \int^t_0{f(s)ds}]^t_0+ c$

1 - \int_{0}^{t} f （ s ） d s = \exp [- \int_{0}^{t} h （ s ） d s]

$1- \int^t_0{f(s)ds} = \exp [-\int^t_0 h(s) ds]$

- f （ t ） = - h （ t ） \exp [- \int_{0}^{t} h （ s ） d s]

$-f(t) = -h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

f （ t ） = h （ t ） \exp [- \int_{0}^{t} h （ s ） d s]

$f(t) = h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

h （ t ） = \frac{f （ t ）}{S （ t ）}

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}$

S （ t ） = \frac{f （ t ）}{h （ t ）}

$S(t) = \frac{f(t)}{h(t)}$

$f(t)$ $h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

S （ t ） = \frac{h （ t ） \exp [- \int_{0}^{t} h （ s ） d s]}{h （ t ）}

$S(t) = \frac{h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]}{h(t)}$

S （ t ） = \exp [- \int_{0}^{t} h （ s ） d s]

$S(t) = \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

— バラ
ソース

3

S （ t ） = \exp {- \int_{0}^{t} h （ あなた ） d あなた}

$S(t)=\exp\{-\int_{0}^{t}h(u)du\}$

最初に証明します

f （ t ） = - \frac{d S （ t ）}{d t}

$f(t)=-\frac{dS(t)}{dt}$

f （ t ） = \frac{d F （ t ）}{d t} = \frac{d P （ T < t ）}{d t} = \frac{d （ 1 - S （ t ） ）}{d t} = - \frac{d S （ t ）}{d t} ◼

$f(t)=\frac{dF(t)}{dt}=\frac{dP(T<t)}{dt}=\frac{d(1-S(t))}{dt}=-\frac{dS(t)}{dt}\ \blacksquare$

h （ t ） = \frac{f （ t ）}{S （ t ）}

$h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}$

f (t)

$f(t)$

h (t)

$h(t)$

h （ t ） = \frac{- \frac{d S （ t ）}{d t}}{S （ t ）}

$h(t)=\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}$

\int_{0}^{t} h （ あなた ） d あなた = \int_{0}^{t} \frac{- \frac{d S （ t ）}{d t}}{S （ t ）} d t = \int_{0}^{t} - S （ t ）^{- 1} d S （ t ） = - [ログ S （ t ） - ログ S （ 0 ）] = - ログ S （ t ）

$\int_0^th(u)du=\int_0^t\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}dt=\int_0^t-S(t)^{-1}dS(t)\\ =-[\log S(t)-\log S(0)]=-\log S(t)$

S （ t ） = \exp {- \int_{0}^{t} h （ あなた ） d あなた} ◼

$S(t)=\exp\{-\int_0^th(u)du\}\ \blacksquare$

— CCKevin Wang
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