AとBがCと相関している場合、なぜAとBは必ずしも相関しないのですか？

私は経験的にそれが事実であることを知っています。この難問にぶつかるモデルを開発しました。また、必ずしもyes / noの答えではないのではないかと思います。つまり、AとBの両方がCと相関している場合、これはAとBの間の相関に関して何らかの意味を持つかもしれません。しかし、この意味は弱いかもしれません。それは単なる標識の方向であり、他には何もないかもしれません。

これが私が意味することです... AとBの両方がCと0.5の相関関係を持っているとしましょう。それを考えると、AとBの間の相関関係は1.0になります。0.5またはそれ以下になることもあると思います。しかし、マイナスになる可能性は低いと思います。それに同意しますか？

また、標準のピアソン相関係数を検討している場合、または代わりにスピアマン（ランク）相関係数を検討している場合、影響はありますか？私の最近の経験的観測は、スピアマン相関係数に関連付けられていました。

相関は多変量分布の数学的特性であるため、それらの分布の統計的起源に関係なく、純粋に計算によって洞察を得ることができます。

ピアソン相関、考慮多変量変数 、Y、Zを。これらは非負定行列は実際にはいくつかの多重正規分布の共分散行列であり、それによって存在の問題を解決するため、これらは動作するのに役立ちます。対角が1の行列に固執すると、共分散行列の非対角要素は相関になります。相関書き込みX及びYとしてρの相関Y及びZのようにτ、との相関XおよびZとして$X$$Y$$Z$$1$$X$$Y$$\rho$$Y$$Z$$\tau$$X$$Z$を計算します$\sigma$

• （これは、相関行列の行列であり、それは負であることができないため）。$1 + 2 \rho \sigma \tau - \left(\rho^2 + \sigma^2 + \tau^2\right) \ge 0$

• 場合これはことを意味ρ 2 + τ 2 ≤ 1。別の言い方をすれば、ρとτの両方が大きければ、XとZは非ゼロの相関を持たなければなりません。$\sigma = 0$$\rho^2 + \tau^2 \le 1$$\rho$$\tau$$X$$Z$

• もし、その後の任意の非負値σ（の間の0と1コースの）が可能です。$\rho^2 = \tau^2 = 1/2$$\sigma$$0$$1$

• 場合、負の値σが許容されています。場合、例えば、ρ = τ = 1 / 2、σはどこの間であることができる- 1 / 2及び1。$\rho^2 + \tau^2 \lt 1$$\sigma$$\rho = \tau = 1/2$$\sigma$$-1/2$$1$

これらの考慮事項は、相互相関に実際にいくつかの制約があることを意味します。制約（相関行列の非負の定義のみに依存し、変数の実際の分布には依存しません）は、単変量分布に関する仮定に応じて厳しくすることができます。たとえば、とYの分布が同じロケーションスケールファミリにない場合、それらの相関は厳密にサイズが1未満でなければならないことを簡単に確認（および証明）できます。（証明：± 1の相関関係は、XとYが線形に関連していることを意味します）$X$$Y$$1$$\pm 1$$X$$Y$

限りスピアマンの順位相関が行く、3つの変量の観測を検討、（2 、3 、1 ）、及び（3 、2 、3 ）の（X 、Y 、Z ）。それらの相互の順位相関は1 / 2、1 / 2、および- 1 / 2。したがって、ランク相関の符号でも$(1,1,2)$$(2,3,1)$$(3,2,3)$$(X, Y, Z)$$1/2$$1/2$$-1/2$と Zは、 Xと Yおよび Xと Zの相関の符号の逆になります。$Y$$Z$$X$$Y$$X$$Z$

私は今、毎年恒例の釣り旅行にいます。私が釣りをする時間と釣った魚の量の間には相関関係があります。また、使用する餌のサイズと釣った魚の量にも相関があります。餌の大きさと時刻の間に相関関係はありません。

$V_A=A-E(A)$$V_B=B-E(B)$$V_A$$V_B$$V_C$$\pi/2$$\pi$$V_A$$V_B$$V_C$$V_A$$V_B$

whuberの答えのアドオンとして：提示された式

$1 + 2 \rho \sigma \tau - \left(\rho^2 + \sigma^2 + \tau^2\right) \ge 0$

次の不等式に変換できます（Olkin、1981）：

$\sigma\tau - \sqrt{(1-\sigma^2)(1-\tau^2)} \le \rho \le \sigma\tau + \sqrt{(1-\sigma^2)(1-\tau^2)}$

$\rho$

オルキン、I。（1981）。積モーメント相関行列の範囲制限。Psychometrika、46、469-472。土井：10.1007 / BF02293804

「なぜそれらを相関させるべきなのか」と尋ねた方が良いと思います。または、「特定の相関関係があるのはなぜですか？」

次のRコードは、x1とx2が両方ともYと相関しているが、互いに0の相関がある場合を示しています

x1 <- rnorm(100)
x2  <- rnorm(100)
y <- 3*x1 + 2*x2 + rnorm(100, 0, .3)

cor(x1,y)
cor(x2,y)
cor(x1,x2)

Yとの相関は、.3を.1に減らすか、または何にでも強くすることができます

統計的デモンストレーションは、私よりも適している人に任せます...しかし、イベントAは、イベントCの生成に寄与するプロセスXを生成すると直感的に言います。一方、BはYを生成し、これもCを形成します。したがって、AはCと相関し、BはCと相関しますが、AとBは相関しません。

直観が必要な人にとって、相関関係はある角度の余弦と見なすことができます。したがって、3Dの3つのベクトル、A、B、Cを考えてみましょう。それぞれが1つの変数に対応します。問題は、AとBの間の角度とBとCの間の角度がわかっている場合に、AとCの間の可能な角度の範囲を決定することです。そのために、ソフトウェアをインストールせずにオンラインツールで遊ぶことができます。http://www.montefiore.ulg.ac.be/~pierard/chained_correlations.phpページにアクセスするだけです

一例を見てみましょう。

A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9}

B={x1,x2,x3,0,0,0,0,0,0}

C={0,0,0,x4,x5,x6,0,0,0}

一部のxでは、AとBに有意な相関があり、同様にAとCにも有意な相関がありますが、BとCの相関は有意ではありません。

したがって、AとBが相関し、AとCが相関している場合、BとCも相関しているとは限りません。

注：理解を深めるために、この例を大規模データで考えてください。