2つの変数の合計のスピアマン相関に限界はありますか？

与えられた -vectorsはのスピアマン相関係数ように及びある、のスピアマン係数に限界が知られているとの観点から、（そしておそらく）？つまり、ような自明ではない）関数見つけることができます $n$ $x, y_1, y_2$ $x$ $y_i$ $\rho_i = \rho(x,y_i)$ $x$ $y_1 + y_2$ $\rho_i$ $n$ $l(\rho_1,\rho_2,n), u(\rho_1,\rho_2,n)$

l (ρ_{1}, ρ_{2}, n) \leq ρ (x, y_{1} + y_{2}) \leq u (ρ_{1}, ρ_{2}, n)

$l(\rho_1,\rho_2,n) \le \rho(x,y_1+y_2) \le u(\rho_1,\rho_2,n)$

編集：コメントの@whuberの例によれば、一般的なケースでは、自明な境界のみを作成できるようです。したがって、私はさらに制約を課したいと思います： $l = -1, u = 1$

$y_1, y_2$ は整数順列です。 $1 \ldots n$

correlation spearman-rho bounds

— みすぼらしい
ソース

知っているだけで、を含む区間には、と含める必要があります：各の値（任意の順位を有しながら）非常に小さな値を有することができ、したがって、単に「ジッター」に添加したとき。したがって、順位は影響を受けません。間隔が超えることができるかどうかはわかりません。

ρ_{1}, ρ_{2}

$\rho_{1}, \rho_{2}$

ρ (x, y_{1} + y_{2})

$\rho(x, y_{1} + y_{2})$

ρ_{1}

$\rho_{1}$

ρ_{2}

$\rho_{2}$

y_{1}, y_{2}

$y_{1}, y_{2}$

y_{1}

$y_{1}$

y_{1}

$y_{1}$

y_{1}

$y_{1}$

ρ_{i}

$\rho_{i}$

— カラカル

@カラカル良い観察。間隔は確かによりも広くなる可能性があります。両方の相関がゼロである場合を考えてください。合計との相関は簡単に非ゼロになる可能性があります。つまり、-1から1までの範囲に及ぶ可能性があります。y1 =（3、-10,2,10,1）; y2 =（-8,9、-2、-9,4）; y1 + y2 =（-5、-1,0,1,5）にはがありが、です。

ρ_{i}

$\rho_i$

ρ_{1} = ρ_{2} = 0

$\rho_1=\rho_2=0$

ρ = 1

$\rho=1$

— whuber

@whuber：これは、些細な境界のみが存在することを意味するようです（つまり、）。多分私は問題に別の制約を投げる必要があります。

l = - 1, u = 1

$l = -1, u = 1$

— shabbychef 2010

@shabbychefいいえ、いい問題を投稿しました。それは簡単なことではありません。場合、例えば、唯一の可能性は。場合を除いて、境界は自明ではないとます。とが近づくにつれて、それらは狭くなる必要があります。

ρ_{1} = ρ_{2} = 1

$\rho_1 = \rho_2 = 1$

ρ = 1

$\rho = 1$

ρ_{1} = ρ_{2} = 0

$\rho_1 = \rho_2 = 0$

ρ_{1}

$\rho_1$

ρ_{2}

$\rho_2$

\pm 1

$\pm 1$

— whuber

ここに別の病理学的なケースがあります。およびと仮定します。次に、ですが、およびです。問題のより単純で確率的なバージョンについて考えることは賢明かもしれません。ましょ、、および確率変数、わずか制服分布と各可能。ここで、を CDFとします。と基づいてについて何が言えますか？

x = y_{1}

$x = y_1$

y_{1} = - y_{2}

$y_1 = -y_2$

ρ (x, y_{1} + y_{2}) = 0

$\rho(x, y_1 + y_2) = 0$

ρ_{1} = 1

$\rho_1 = 1$

ρ_{2} = - 1

$\rho_2 = −1$

X

$X$

Y_{1}

$Y_1$

Y_{2}

$Y_2$

G

$G$

Y_{1} + Y_{2}

$Y_1 + Y_2$

C o v (X, G (Y_{1} + Y_{2}))

$Cov(X, G(Y_1 + Y_2))$

C o v (X, Y_{1})

$Cov(X,Y_1)$

C o v (X, Y_{2})

$Cov(X,Y_2)$

— vqv 2010

スピアマンの順位相関は、変数の順位間のピアソンの積率相関です。Shabbychefの追加の制約は、とがそれらのランクと同じであり、タイがないことを意味するため、標準偏差はと等しくなります（たとえば）。xもそのランクで置き換えると、問題はピアソンの積率相関と同等の問題になります。ピアソンの積率相関の定義により、 $y_1$ $y_2$ $\sigma_y$

\begin{aligned} ρ (x, y_{1} + y_{2}) & = \frac{Cov (x, y_{1} + y_{2})}{σ_{x} \sqrt{Var (y_{1} + y_{2})}} \\ = \frac{Cov (x, y_{1}) + Cov (x, y_{2})}{σ_{x} \sqrt{Var (y_{1}) + Var (y_{2}) + 2 Cov (y_{1}, y_{2})}} \\ = \frac{ρ_{1} σ_{x} σ_{y} + ρ_{2} σ_{x} σ_{y}}{σ_{x} \sqrt{2 σ_{y}^{2} + 2 σ_{y}^{2} ρ (y_{1}, y_{2})}} \\ = \frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{\sqrt{2} {(1 + ρ (y_{1}, y_{2}))}^{1 / 2}} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho(x,y_1+y_2) &= \frac{\operatorname{Cov}(x,y_1+y_2)} {\sigma_x \sqrt{\operatorname{Var}(y_1+y_2)}} \\ &= \frac{\operatorname{Cov}(x,y_1) + \operatorname{Cov}(x,y_2)} {\sigma_x \sqrt{\operatorname{Var}(y_1)+\operatorname{Var}(y_2) + 2\operatorname{Cov}(y_1,y_2)}} \\ &= \frac{\rho_1\sigma_x\sigma_y + \rho_2\sigma_x\sigma_y} {\sigma_x \sqrt{2\sigma_y^2 + 2\sigma_y^2\rho(y_1,y_2)}} \\ &= \frac{\rho_1 + \rho_2} {\sqrt{2}\left(1+\rho(y_1,y_2)\right)^{1/2}}. \\ \end{align}$ 3つの変数のセットについて、3つの相関のうち2つがわかっている場合は、3番目の相関に境界を設定できます（たとえば、Vos 2009を参照するか、部分相関の式から）：

ρ_{1} ρ_{2} - \sqrt{1 - ρ_{1}^{2}} \sqrt{1 - ρ_{2}^{2}} \leq ρ (y_{1}, y_{2}) \leq ρ_{1} ρ_{2} + \sqrt{1 - ρ_{1}^{2}} \sqrt{1 - ρ_{2}^{2}}

$\rho_1\rho_2 - \sqrt{1-\rho_1^2}\sqrt{1-\rho_2^2} \leq \rho(y_1,y_2) \leq \rho_1\rho_2 + \sqrt{1-\rho_1^2}\sqrt{1-\rho_2^2}$ したがって、 if ; もしあなたの周りの境界を切り替える必要があります。

\frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{\sqrt{2} {(1 + ρ_{1} ρ_{2} + \sqrt{1 - ρ_{1}^{2}} \sqrt{1 - ρ_{2}^{2}})}^{1 / 2}} \leq ρ (x, y_{1} + y_{2}) \leq \frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{\sqrt{2} {(1 + ρ_{1} ρ_{2} - \sqrt{1 - ρ_{1}^{2}} \sqrt{1 - ρ_{2}^{2}})}^{1 / 2}}

$\frac{\rho_1 + \rho_2} {\sqrt{2}\left(1+\rho_1\rho_2 + \sqrt{1-\rho_1^2}\sqrt{1-\rho_2^2}\right)^{1/2}} \leq \rho(x,y_1+y_2) \leq \frac{\rho_1 + \rho_2} {\sqrt{2}\left(1+\rho_1\rho_2 - \sqrt{1-\rho_1^2}\sqrt{1-\rho_2^2}\right)^{1/2}}$

ρ_{1} + ρ_{2} \geq 0

$\rho_1 + \rho_2 \geq 0$

ρ_{1} + ρ_{2} \leq 0

$\rho_1 + \rho_2 \le 0$

— ワンストップ
ソース

しかし、本当の問題は、ランクが上がらないことです。質問に対する私のコメントを参照してください。

— vqv 2010

@vqvしかし、とが整数順列である、それらはそれらのランクとまったく同じです。

y_{1}

$y_1$

y_{2}

$y_2$

1 \dots n

$1\ldots n$

— ワンストップ2010

順列の合計の半分は、順列である必要はありません。しかし、これは非常に近く、ピアソンの質問に答えると思います。

— shabbychef 2010

のランク付けされた値は、一般に非線形関数です。たとえとがそれぞれ整数順列であったとしてもです。次に例を示します：および。次に、およびです。に対してプロットすると、2つの間に線形関係がないことがわかります。上記のは、という仮定の下でも、一般にfalseです。

y_{1} + y_{2}

$y_1 + y_2$

y_{1} + y_{2}

$y_1 + y_2$

y_{1}

$y_1$

y_{2}

$y_2$

1, \dots, n

$1,\ldots,n$

y_{1} = (1, 2, 3, 4)

$y_1 = (1,2,3,4)$

y_{2} = (2, 3, 1, 4)

$y_2 = (2,3,1,4)$

y_{1} + y_{2} = (3, 5, 4, 8)

$y_1+y_2 = (3,5,4,8)$

r a n k (y_{1} + y_{2}) = (1, 3, 2, 4)

$rank(y_1+y_2) = (1,3,2,4)$

y_{1} + y_{2}

$y_1+y_2$

r a n k (y_{1} + y_{2})

$rank(y_1+y_2)$

ρ (x, y_{1} + y_{2}) = C o v (x, y_{1} + y_{2}) / \dots

$\rho(x,y_1+y_2) = Cov(x,y_1+y_2) / \cdots$

y_{1}

$y_1$ およびは整数の順列です。

y_{2}

$y_2$

— vqv

@vqvその通りです。クリスマス休みに向けて出発する前に、私は急いで答えようとした。これまで、3つの変数のピアソン相関に関連する不等式に遭遇したことはありませんでした。3Dビジュアライゼーションを備えた完全な別のリファレンスを次に示します。jstor.org / stable / 2684832。それでもある程度の関連性があると思うので、回答を削除することはしませんが、修正方法もわかりません。

— 2010