ガウス・マルコフの定理：BLUE and OLS

私はwikipediaの Guass-Markovの定理について読んでいます。誰かがこの定理の主要な点を理解するのを手伝ってくれることを願っていました。

：私たちは、マトリクス状に、によって与えられ、線形モデルを想定し と私たちはBLUEを探しています、β。

$$y = X\beta +\eta$$ $\widehat\beta$

この、私はラベルう "残留"と ε = β - β "エラー"。（つまり、Gauss-Markovページでの使用法の反対です）。$\eta = y - X\beta$$\varepsilon = \widehat\beta - \beta$

OLS（通常の最小二乗）推定量は、のargminとして導出できます。| 残差| | 2 2 = | | η | | 2 2。$||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$

ここで、に期待演算子を示します。あれば私の理解に、どのようなガウス・マルコフの定理を教えてくれることは、つまりE（η ）= 0とヴァール（η ）= σ 2 Iのすべての線形、公平な推定、オーバー、そしてargmin、E（| |エラー| | 2 2）= E（| | ε | | 2 2）は、OLS推定量と同じ式で与えられます。$\mathbb{E}$$\mathbb{E}(\eta) = 0$$\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$$\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$

すなわち

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

私の理解は正しいですか？もしそうなら、あなたはそれが記事でより目立つ強調に値することを言うでしょうか？

$\hat{\beta}$$\hat{\beta}$$Var(\hat{\beta})$

OLS estimatorが不偏であることの証明は、http：//economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/で確認できます。

$Var(\hat{\beta})$

私の直感は確かに正しかったようです。たとえば、Introductory Econometricsの 375ページをご覧ください 。関連抜粋：