双方向ANOVAの相互作用のNULL仮説とは何ですか？

2つの因子（AおよびB）があり、それぞれに2つのレベル（A1、A2およびB1、B2）と応答変数（y）があるとします。

タイプの二元配置分散分析を実行する場合：

y~A+B+A*B

3つの帰無仮説をテストしています。

1. 因子Aの平均に違いはありません
2. 因子Bの平均に違いはありません
3. 因子Aと因子Bの間に相互作用はありません

と、最初の2つの仮説は簡単に定式化できます（1の場合、）$H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$

しかし、仮説3はどのように定式化すべきでしょうか？

編集：そしてそれは2つ以上のレベルの場合にどのように定式化されますか？

ありがとう。

仮説とそれに対応する検定を明確に分けることが重要だと思います。以下では、バランスの取れた被験者間CRF- 設計（セルサイズが等しい、カークの表記法：完全にランダム化された要因計画）を想定しています。$pq$

観察され、I治療における J因子の A及び治療 K因子の Bと 1 ≤ iが≤ nは、 1 ≤ J ≤ Pと 1つの≤ K ≤ Q。モデルは、 Y 、I 、J 、K = μ jはK + ε I （jはK ）$Y_{ijk}$$i$$j$$A$$k$$B$$1 \leq i \leq n$$1 \leq j \leq p$$1 \leq k \leq q$$Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

デザイン： B 1 ... BのK ... B Q A 1 μ 11 ... μ 1つのK ... μ 1 のq μ 1 ... ... ... ... ... ... ... A jのμ jの1 ... μ jはK ... μ jのQ μ J 。... ... ... ... ... ... ... A のp μ P 1 ... μ$\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

、セル内の期待値であり、 jはK、 ε I （jはK ）人の測定に関連する誤差である Iそのセルです。（）表記は、インデックスのことを示している j個のkは任意の人のために固定されている私その人が唯一の条件で観察されるからです。効果のいくつかの定義：$\mu_{jk}$$jk$$\epsilon_{i(jk)}$$i$$()$$jk$$i$

（処置の平均期待値J因子のA）$\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$$j$$A$

（処置の平均期待値K因子のB）$\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$$k$$B$

（治療の効果 J因子の A、 Σ P J = 1 α J = 0）$\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$$j$$A$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$

（治療の効果 K因子の B、 ΣのQ K = 1、β K = 0）$\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$$k$$B$$\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$

$(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
(interaction effect for the combination of treatment $j$ of factor $A$ with treatment $k$ of factor $B$, $\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

$\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
(conditional main effect for treatment $j$ of factor $A$ within fixed treatment $k$ of factor $B$, $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

$\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
(conditional main effect for treatment $k$ of factor $B$ within fixed treatment $j$ of factor $A$, $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

With these definitions, the model can also be written as: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

This allows us to express the null hypothesis of no interaction in several equivalent ways:

1. $H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
   (all individual interaction terms are $0$, such that $\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$. This means that treatment effects of both factors - as defined above - are additive everywhere.)

2. $H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
   (all conditional main effects for any treatment $j$ of factor $A$ are the same, and therefore equal $\alpha_{j}$. This is essentially Dason's answer.)

3. $H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
   (all conditional main effects for any treatment $k$ of factor $B$ are the same, and therefore equal $\beta_{k}$.)

4. $H_{0_{I}}$: In a diagramm which shows the expected values $\mu_{jk}$ with the levels of factor $A$ on the $x$-axis and the levels of factor $B$ drawn as separate lines, the $q$ different lines are parallel.

An interaction tells us that the levels of factor A have different effects based on what level of factor B you're applying. So we can test this through a linear contrast. Let C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2) where A1B1 stands for the mean of the group that received A1 and B1 and so on. So here we're looking at A1B1 - A1B2 which is the effect that factor B is having when we're applying A1. If there is no interaction this should be the same as the effect B is having when we apply A2: A2B1 - A2B2. If those are the same then their difference should be 0 so we could use the tests:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$