MLE /対数正規分布区間の可能性

以下のサンプルのように、間隔として表される応答の変数セットがあります。

> head(left)
[1]  860  516  430 1118  860  602
> head(right)
[1]  946  602  516 1204  946  688

ここで、左は応答の下限、右は応答の上限です。対数正規分布に従ってパラメーターを推定したい。

しばらくの間、可能性を直接計算しようとしたとき、2つの境界が異なるパラメーターのセットに沿って分布しているため、以下のようないくつかの負の値が得られるという事実に苦労していました。

> Pr_high=plnorm(wta_high,meanlog_high,sdlog_high)
> Pr_low=plnorm(wta_low, meanlog_low,sdlog_low)
> Pr=Pr_high-Pr_low
> 
> head(Pr)
[1] -0.0079951419  0.0001207749  0.0008002343 -0.0009705125 -0.0079951419 -0.0022395514

私は実際にそれを解決する方法を理解できず、代わりに間隔の中間点を使用することに決めました。これは、間隔応答の対数尤度を抽出するmledist関数を見つけるまで、良い妥協です。これは私が得る要約です：

> mledist(int, distr="lnorm")
$estimate
meanlog     sdlog 
6.9092257 0.3120138 

$convergence
[1] 0

$loglik
[1] -152.1236

$hessian
         meanlog       sdlog
meanlog 570.760358    7.183723
sdlog     7.183723 1112.098031

$optim.function
[1] "optim"

$fix.arg
NULL

Warning messages:
1: In plnorm(q = c(946L, 602L, 516L, 1204L, 946L, 688L, 1376L, 1376L,  :
NaNs produced
2: In plnorm(q = c(860L, 516L, 430L, 1118L, 860L, 602L, 1290L, 1290L,  :
NaNs produced

パラメータ値は理にかなっているようで、対数尤度は、私が使用した他のどの方法よりも大きくなっています（中点分布または境界のいずれか1つの分布）。

わからない警告メッセージがあります。私が正しいことをしているのかどうか、またこのメッセージの意味を誰かに教えてもらえますか？

ヘルプに感謝します！

可能性を正しく計算していないようです。

$x$

1. $F_\theta$

2. $a$$b \gt a$$b$$a$$x$

一例として、ここでRの値は実装ベクトルであり、値ベクターで、および対数正規であるが。（これは汎用のソリューションではありません。特に、すべてのデータについておよびと想定しています。）$a$left$b$right$F_\theta$$b \gt a$$b \ne a$

#
# Lognormal log-likelihood for interval data.
#
lambda <- function(mu, sigma, left, right) {
  sum(log(pnorm(log(right), mu, sigma) - pnorm(log(left), mu, sigma)))
}

最大対数尤度を見つけるには、対数平均および対数標準偏差妥当な開始値のセットが必要です。この推定は、各区間をその端点の幾何平均で置き換えます。$\mu$$\sigma$

#
# Create an initial estimate of lognormal parameters for interval data.
#
lambda.init <- function(left, right) {
  mid <- log(left * right)/2
  c(mean(mid), sd(mid))
}

いくつかのランダムな対数正規分布データを生成し、それらを間隔にビン化してみましょう：

set.seed(17)
n <- 12                     # Number of data
z <- exp(rnorm(n, 6, .5))   # Mean = 6, SD = 0.5
left <- 100 * floor(z/100)  # Bin into multiples of 100
right <- left + 100

フィッティングは、汎用の多変量オプティマイザーで実行できます。（これはデフォルトでは最小化ツールであるため、対数尤度の否定に適用する必要があります。）

fit <- optim(lambda.init(left,right), 
             fn=function(theta) -lambda(theta[1], theta[2], left, right))
fit$par

6.1188785 0.3957045

推定ある遠くないの意図した値から、、との推定ある遠くないの意図した値から、：だけのために悪くない値。近似の程度を確認するために、経験累積分布関数と近似分布関数をプロットしてみましょう。ECDFを構築するために、各間隔を直線的に補間します。$\mu$$6.12$$6$$\sigma$$0.40$$0.5$$12$

#
# ECDF of the data.
#
F <- function(x) (1 + mean((abs(x - left) - abs(x - right)) / (right - left)))/2

y <- sapply(x <- seq(min(left) * 0.8, max(right) / 0.8, 1), F)
plot(x, y, type="l", lwd=2, lty=2, ylab="Cumulative probability")
curve(pnorm(log(x), fit$par[1], fit$par[2]), from=min(x), to=max(x), col="Red", lwd=2, 
  add=TRUE)

垂直方向の偏差は一貫して小さく、上下に変化するため、適切に適合しているように見えます。