結合された標準偏差を見つけることは可能ですか？

2つのセットがあるとします。

セットA：アイテム、、$n= 10$$\mu = 2.4$$\sigma = 0.8$

セットB：アイテムの、、$n= 5$$\mu = 2$$\sigma = 1.2$

結合平均（）は簡単に見つけることができますが、結合標準偏差を見つけるにはどうすればよいですか？$\mu$

したがって、これらのサンプルのうち2つを1つにまとめたい場合は、次のようにします。

$s_1 = \sqrt{\frac{1}{n_1}\Sigma_{i = 1}^{n_1} (x_i - \bar{y}_1)^2}$

$s_2 = \sqrt{\frac{1}{n_2}\Sigma_{i = 1}^{n_2} (y_i - \bar{y}_2)^2}$

ここで、およびはサンプル平均であり、およびはサンプル標準偏差です。$\bar{y}_1$$\bar{y}_2$$s_1$$s_2$

それらを追加するには、次のものがあります。

$s = \sqrt{\frac{1}{n_1 + n_2}\Sigma_{i = 1}^{n_1 + n_2} (z_i - \bar{y})^2}$

新しい平均はおよびとは異なるため、それほど単純ではありません。$\bar{y}$$\bar{y}_1$$\bar{y}_2$

$\bar{y} = \frac{1}{n_1 + n_2}\Sigma_{i = 1}^{n_1 + n_2} z_i = \frac{n_1 \bar{y}_1 + n_2 \bar{y}_2}{n_1 + n_2}$

最終的な式は次のとおりです。

$s = \sqrt{\frac{n_1 s_1^2 + n_2 s_2^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }}$

一般的に使用されるベッセル補正（ "分母"）バージョンの標準偏差の場合、平均の結果は以前と同じですが、$n-1$

$s = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2 + n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1+n_2 - 1} }$

詳細はこちらをご覧ください：http : //en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation

これは明らかにグループに拡張されます。$K$

$$s = \sqrt{ \frac{\sum_{k=1}^K (n_k-1)s_k^2 + n_k(\bar{y}_k-\bar{y})^2} {(\sum_{k=1}^K n_k) -1} }$$

私は同じ問題を抱えていました。空の交差点を持ついくつかのサブセットの標準偏差、平均、サイズを持ち、それらのサブセットの和集合の標準偏差を計算します。

私はsashkelloとGlen_b♦の答えが好きですが、その証拠を見つけたいと思いました。私はこの方法でそれをしました、そして、それが誰のためにでも役立つならば、私はそれをここに残します。

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したがって、目的は実際にそれを確認することです：

$$s = \left(\frac{n_1 s_1^2 + n_2 s_2^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }\right)^{1/2}$$

ステップバイステップ：

$$\left(\frac{n_1 s_1^2 + n_2 s_2^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(x_i - \bar{y_1})^2 + \sum_{i=1}^{n_2}(y_i - \bar{y_2})^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left((x_i - \bar{y_1})^2 + (\bar{y}_1-\bar{y})^2\right) + \sum_{i=1}^{n_2}\left((y_i - \bar{y_2})^2 + (\bar{y}_2-\bar{y})^2\right)}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 + 2\bar{y_1}^2 -2x_i\bar{y_1} -2\bar{y_1}\bar{y} \right)}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 + 2\bar{y_2}^2 -2y_i\bar{y_2} -2\bar{y_2}\bar{y} \right)}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}\right) + 2n_1\bar{y_1}^2 -2\bar{y_1}\sum_{i=1}^{n_1}x_i}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_2}\frac{y_j}{n_2}\right) + 2n_2\bar{y_2}^2 -2\bar{y_2}\sum_{i=1}^{n_2}y_i}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}\right) + 2n_1\bar{y_1}^2 -2\bar{y_1}n_1\bar{y_1}}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_2}\frac{y_j}{n_2}\right) + 2n_2\bar{y_2}^2 -2\bar{y_2}n_2\bar{y_2}}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}\right)}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_2}\frac{y_j}{n_2}\right)}{n_1 + n_2}\right)^{1/2}$$

ここでのコツは、合計を並べ替えることができることを理解することです。各 項は回出現するため、分子をとして記述し

$$-2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}$$ $n_1$ $$\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}x_i\right),$$

したがって、等式チェーンを続けます：

$$= \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i - \bar{y}\right)^2}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i - \bar{y}\right)^2}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1 + n_2}\left(z_i - \bar{y}\right)^2}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = s \qquad \square$$

これは言われた、おそらくこれを行うにはより簡単な方法があります。

前述のように、式はサブセットに拡張できます。証明は、セット数の帰納法です。基本ケースはすでに証明されており、誘導ステップでは、後者に同様の等式チェーンを適用する必要があります。$k$