固定距離内のポイント数を最大にする既知の数の円中心を見つける

指定された距離（）内のポイントの総数を最大化する、指定された数の円の中心（）の中心を見つけたい2次元データのセットがあります。$N$$R$

たとえば、10,000個のデータポイントあり、半径内でできるだけ多くのポイントをキャプチャする円の中心を見つけたいと考えています。5つの中心と10の半径は、データからではなく、あらかじめ与えられています。N = 5 R = $(X_i, Y_i)$$N=5$$R=10$

円内のデータポイントの存在は、バイナリまたは命題のいずれかです。場合、どちらも> 10であるため、値が11単位離れている点と100単位離れている点で差はありません。同様に、円内にある場合も、中心付近と端付近の値は異なります。 。データポイントは、いずれかの円の中にあるか外にあります。$R=10$

この問題を解決するために使用できる優れたアルゴリズムはありますか？これらはクラスタリング手法に関連しているようですが、平均距離を最小化するのではなく、「距離」関数は、ポイントがポイントのいずれかの内にある場合は0、それ以外の場合は1です。$R$$N$

私の好みはRでこれを行う方法を見つけることですが、どのようなアプローチでもありがたいです。

これは変動k-means問題です。中心が等しいと見なされる限り、中心の半径は重要ではありません。

リンク：

• http://en.wikipedia.org/wiki/K-means_clustering
• http://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/kmeans.html

点の確率が最も高い場所に円の中心が配置されます。

古典的なK平均法手順：

1. クラスター数を5に設定
2. 各ポイントをランダムなクラスターに配置する
3. 各クラスターについて、平均位置を計算する
4. 各ポイントについて、新しい各平均位置までの距離を計算します
5. メンバーシップを最も近いクラスターに関連付ける
6. 完了するまで繰り返す（反復、位置の変更、またはその他のエラーメトリック）

オプション：

• 3の後でリラックス不足を使用して、平均位置を新しい位置に向かってゆっくりと変換できます。
• これは個別のシステムであるため、完全には収束しません。ポイントがメンバーシップの変更を停止したときに終了することもありますが、少しだけ揺らぐこともあります。
• 独自のコードを作成している場合（ほとんどの人がそうしているように）、上記のPOR k平均を開始点として使用し、円によって完全かつ完全に囲まれたポイントのパーセントによって通知されるEMにいくつかのバリエーションを実行できます。

K平均法が問題を攻撃する理由：

• これは、成分の共分散が等しいガウス混合モデルのフィッティングと同等です。混合成分の中心は、最も期待される点の位置に配置されます。一定の確率の曲線は円になります。これはEMアルゴリズムなので、漸近的な収束があります。メンバーシップはハードではなく、ソフトです。
• 等分散成分混合モデルの基本的な仮定が合理的に「近い」ものである場合は、それが何を意味するにせよ、この方法が適していると思います。ランダムにポイントを分散させるだけでは、うまく適合しない可能性が高くなります。

均一な分布を拾う非ガウス分布の成分がある「ゼロ膨張ポアソン」の類似物があるはずです。

モデルを「調整」する必要があり、十分なサンプルポイントがあると確信している場合は、k-meansを使用して初期化し、円の半径の外側のポイントを競合から削除する拡張k-meansアジャスターを作成できます。それはあなたが持っている円を少し乱すでしょう、しかしそれは与えられたデータを与えられて少し改善されたパフォーマンスを持っているかもしれません。

誰かがより良い正式なアルゴリズムを持っている可能性がありますが、ここではブルートフォースアプローチ（ハック？）の1つを示します。六角形のビニングアルゴリズムの1つを使用して、2Dヒストグラムを計算します。のようhexbinにR。

半径Rの円を大まかに囲む六角形のサイズを使用し、上位N個のビンで並べ替えます。あなたがN明確な遠くのビンを手に入れたら、素晴らしい。ここで1つの方法は、最高密度の六角形の中心から（xおよびy方向に）2 * Rスケールで円を局所的に移動することです。密度を計算すると、ローカルで位置を大まかに最適化できます。これは、六角形が固定原点に関して移動ウィンドウではなかったという事実を説明します。

上位のビンがすべて近くにある場合は、その近くでサークルを移動するためのよりスマートな方法が必要です。

そのような素朴な戦略が見事に失敗するいくつかのコーナーケースを考えることができることに注意してください。まだ、出発点にすぎません。

その間、私は誰かがより良いアルゴリズムを持っていることを望みます。