確率変数のべき乗の分散

Xの期待値と分散の観点から、確率変数のべき乗の分散の式を導出することは可能ですか？および

var (X^{n}) = ?

$\operatorname{var}(X^n)= \,?$

E (X^{n}) = ?

$E(X^n)=\,?$

variance expected-value

— ダムラ
ソース

特定のディストリビューションを念頭に置いていますか？ソリューションを取得するには、そのような制限が必要です。一般的な式が存在する場合、分布は著しく少なくなります。その式はすべての高いモーメントを決定するため、すべての分布が期待値と分散によってパラメーター化される可能性がありますが、明らかにそうではありません。

— whuber

制限はありません。この問題の独立したより一般的なバージョンは、このリンクで解決されます：stats.stackexchange.com/questions/52646/…したがって、この問題の一般的な方程式も導出できるかどうか疑問に思っています。言い換えれば、私は

ここで、

v a r (X_{1} X_{2} \dots X_{n}) = ?

${\rm var}(X_1X_2 \cdots X_n)= \ ?$

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=⋯=X_n=X$

— damla

はい：それらの違いは分散であり、平方和としての分散は負になることはできません。

— whuber

StéphaneLaurentそのような主張がどこで行われたかはわかりませんが、明確にするために、そのようなことは何もしていません。

— whuber

@バスティアン

; 正規分布の

、こちらから入手できます。

V a r (X^{n}) = E [X^{2 n}] - E [X^{n}]^{2}

$\mathrm{Var}(X^n) = \mathbb{E}[X^{2n}] - \mathbb{E}[X^n]^2$

E [X^{n}]

$\mathbb{E}[X^n]$

— Dougal

分布Xのモーメント生成関数がある場合、を使用して期待値を計算できます $X^n$ そしてそれを評価し。 $\frac{d^n}{dt^n} MGF(x)$ $t=0$

— ニック・リム
ソース

これが

を見つけるのにどのように役立つかを説明してください。

Var (X^{n})

$\operatorname{Var}(X^n)$

— Silverfish

上記のコメントのわずか3分前に投稿されたメインの質問に対する@Silverfish Dougalのコメントは、クエリに完全に回答します。

— Dilip Sarwate 2017年