ガウスの混合としての学生t

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$k > 0$ の自由度、位置パラメーターおよびスケールパラメーターが密度を持つスチューデントt分布を使用する $l$ $s$

\frac{Γ (\frac{k + 1}{2})}{Γ (\frac{k}{2} \sqrt{k π s^{2}})} {1 + k^{- 1} (\frac{x - l}{s})}^{- (k + 1) / 2},

$\frac{\Gamma \left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\sqrt{k \pi s^2}\right)} \left\{ 1 + k^{-1}\left( \frac{x-l}{s}\right)\right\}^{-(k+1)/2},$

スチューデントの分布が、、および結合密度を積分して、限界密度を取得しますか？関数として、結果の分布のパラメーターは何ですか？ $t$ $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ $\tau = 1/\sigma^2\sim\Gamma(\alpha,\beta)$ $f(x,\tau|\mu)$ $f(x|\mu)$ $t$ $\mu,\alpha,\beta$

結合条件付き密度をガンマ分布と統合することにより、計算で迷子になりました。

distributions mixture

— サリウ・ウカン
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正規分布のPDFは

f_{μ, σ} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} d x

$f_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}dx$

しかしの点ではです $\tau = 1/\sigma^2$

g_{μ, τ} (x) = \frac{\sqrt{τ}}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{τ (x - μ)^{2}}{2}} d x .

$g_{\mu, \tau}(x) = \frac{\sqrt{\tau}}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\tau(x-\mu )^2}{2 }}dx.$

ガンマ分布のPDFは

h_{α, β} (τ) = \frac{1}{Γ (α)} e^{- \frac{τ}{β}} τ^{- 1 + α} β^{- α} d τ .

$h_{\alpha, \beta}(\tau) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}e^{-\frac{\tau}{\beta }} \tau^{-1+\alpha } \beta ^{-\alpha }d\tau.$

したがって、簡単な代数でわずかに単純化された製品は、

f_{μ, α, β} (x, τ) = \frac{1}{β^{α} Γ (α) \sqrt{2 π}} e^{- τ (\frac{(x - μ)^{2}}{2} + \frac{1}{β})} τ^{- 1 / 2 + α} d τ d x .

$f_{\mu, \alpha, \beta}(x,\tau) =\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)\sqrt{2 \pi}} e^{-\tau\left(\frac{(x-\mu )^2}{2 } + \frac{1}{\beta}\right)} \tau^{-1/2+\alpha}d\tau dx.$

その内側部分は明らかにフォーム有する、それを複数の製造、ガンマ関数を全範囲にわたって積分するときに対して。したがって、その積分は即時で（ガンマ分布の積分が1であることを知ることで得られます）、周辺分布を与えます $\exp(-\text{constant}_1 \times \tau) \times \tau^{\text{constant}_2}d\tau$ $\tau=0$ $\tau=\infty$

f_{μ, α, β} (x) = \frac{\sqrt{β} Γ (α + \frac{1}{2})}{\sqrt{2 π} Γ (α)} \frac{1}{{(\frac{β}{2} (x - μ)^{2} + 1)}^{α + \frac{1}{2}}} .

$f_{\mu, \alpha, \beta}(x) = \frac{\sqrt{\beta } \Gamma \left(\alpha +\frac{1}{2}\right) }{\sqrt{2\pi } \Gamma (\alpha )}\frac{1}{\left(\frac{\beta}{2} (x-\mu )^2+1\right)^{\alpha +\frac{1}{2}}}.$

以下のために提供されたパターンと一致するようにしよう配信番組を問題にエラーがある：スチューデントのt分布のためのPDFは、実際に比例しています $t$

\frac{1}{\sqrt{k} s} {(\frac{1}{1 + k^{- 1} {(\frac{x - l}{s})}^{2}})}^{\frac{k + 1}{2}}

$\frac{1}{\sqrt{k} s }\left(\frac{1}{1+k^{-1}\left(\frac{x-l}{s}\right)^2}\right)^{\frac{k+1}{2}}$

（の電源あるではなく）。用語に一致することを示し、、及び $(x-l)/s$ $2$ $1$ $k = 2 \alpha$ $l=\mu$ 。 $s = 1/\sqrt{\alpha\beta}$

この導出に微積分は必要ないことに注意してください。すべては、標準PDFとガンマPDFの式を調べ、製品と累乗を含むいくつかの些細な代数操作を実行し、代数式のパターンを（この順序で）一致させることでした。

— ヒューバー
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10

この答えに触発されて、正規分布の混合としてt分布のアニメーションを作成しました。これは、ここに提供されています：sumsar.net/blog/2013/12/t-as-a-mixture-of-normals

— ラスマス・バース

1

@whuber：技術的には、この種のマッチングでは、既知の積分形式を使用してガンマ密度を積分できるという認識で、常に暗黙的に微積分が使用されます。（これは、ブロッコリーを肉やジャガイモと混ぜて隠すことと同等の統計学者です。）微積分を隠す賢い方法です！

— モニカを

1

$t$ $k$ $Y$ $Y$ $X$ $t(k)$ $X$ $\sqrt Y$ $\Phi$ $Y$ $IG(k/2,k/2)$ $\Phi$

— 井景
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0

$0$

\sqrt{1 / τ} X = Y

$\sqrt{1/\tau} X =Y$

τ

$\tau$

Y

$Y$

τ

$\tau$

τ

$\tau$

\sqrt{1 / τ} X

$\sqrt{1/\tau} X$

τ \sim Γ (α, β) \sim \frac{β}{2} Γ (α, 2) \sim \frac{β}{2} χ^{2} (2 α)

$\tau \sim \Gamma(\alpha, \beta) \sim \frac{\beta}{2} \Gamma(\alpha, 2) \sim \frac{\beta}{2} \chi^2(2\alpha)$

Y \sim X \frac{1}{\sqrt{(β / 2) χ^{2} (2 α)}}

$Y \sim X \frac{1}{\sqrt{(\beta/2) \chi^2(2\alpha)} }$

= \frac{X \sqrt{α β}}{\sqrt{χ_{2 α}^{2} / (2 α)}}

$= \frac{ X \sqrt{\alpha \beta} }{\sqrt{ \chi^2_{2\alpha}/(2\alpha)}}$ which is a scaled t with

k = 2 α

$k=2\alpha$ and

s = 1 / \sqrt{α β}

$s=1/\sqrt{\alpha \beta}$ by variance of t. We can recenter our representation at

μ

$\mu$ and

l

$l$ would follow.

— Romil Sirohi
ソース