宿題：ベイジアンデータ分析：両方の二項パラメーターの事前分布

以下は、Bayesian Data Analysis 2nd ed、p。97. Andrew Gelmanは彼のウェブサイトのガイドにそのソリューションを含めておらず、一日中私を夢中にさせてきました。文字通り一日中。

$y$$N$$\theta$$N$$\Pr(N|\mu) = Poisson(\mu)$$\mu$$(N, \theta)$$\lambda=\mu\theta$$N$$p(\lambda, \theta) \varpropto 1/\lambda$。

私がハングアップしている問題の一部は、変数を変換してを決定する方法です。$p(N, \theta)$

私が試みたアプローチは、記述し、積分によって不要なを排除することです。つまり、、そしてを関係置き換えます。このアプローチは、に減少します。ここで、は（3）から導入された比例定数です。 $p(N,\theta|\lambda)p(\lambda, \theta)$$\lambda$$p(N,\theta)=\int_0^\infty C\mu^N/(exp(\mu)\lambda N!)d\lambda$$\mu$$\mu=\lambda/\theta$$p(N,\theta)=C/(N+1)$$C$

この結果は、懸念を私に、それはいくつかの値の同時確率ということを意味するのでとのみに依存してではなく、。さらに、いくつかの漠然とした鐘が、非常に老朽化した多変数計算から鳴り響き、ヤコビアンと座標変換について思い出させようとしていますが、この統合アプローチが適切であるかどうかはわかりません。$\theta$$N$$N$$\theta$

私はあなたの助けと洞察に感謝します。

6年前の最初の4つの章の質問はすべて行いました。ここに私が持っているものがあります：

$p(\mu,\theta)\propto\left|\frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\right|p(\lambda,\theta)=\mu^{-1}.$

そう

$\begin{array}{lrl}p\left(N,\theta\right) & = & \int_{0}^{\infty}p\left(\mu,N,\theta\right)\mathrm{d}\mu\\ & = & \int_{0}^{\infty}p\left(\mu,\theta\right)\Pr\left(N\,|\,\mu\right)\mathrm{d}\mu\\ & \propto & \int_{0}^{\infty}\mu^{-1}\left(\frac{\mu^{N}}{N!}e^{-\mu}\right)\mathrm{d}\mu\\ & = & \frac{\left(N-1\right)!}{N!}=N^{-1}\end{array}$

が依存しないことを心配する必要はありません。これは、の事前がで均一であることを意味します。これは、ベルヌーイパラメーターには最適です。$p(N,\theta)$$\theta$$\theta$$[0,1]$