複数のランダム変数の積の分散

2つの独立変数の答えを知っています：

V a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - (E (X Y))^{2} = V a r (X) V a r (Y) + V a r (X) (E (Y))^{2} + V a r (Y) (E (X))^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

しかし、3つ以上の変数の積をとると、各変数の分散と期待値の観点から答えはどうなりますか？ ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— ダムラ
ソース

そのため

（すべての仮定確率変数とある

独立しているが）、それはから独立して

、答えが誘導得られる：何も新しい必要ありません。これが不思議に思えないように、この手法は、電卓で2つの数字を追加できるため、同じ電卓で

数字を繰り返し追加するだけで追加できることを指摘するのと同じです。

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— whuber

表示された方程式の証明を書いていただけますか？私はに何が起こったかを見つけるために好奇心

用語なければならない、あなたに関わるいくつかの用語与える

。

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— ディリップサルワテ

@DilipSarwate、この質問は暗黙のうちに

と

が独立していると推測しています。OPの式は、

が無相関で、

が無相関の場合は常に正しいです。関連する質問への私の回答はこちらをご覧ください。

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— マクロ

@Macroあなたが提起するポイントをよく知っています。私がOPに自分自身を理解させ、理解させるためにしようとしていたことは、

が

単純化するように、独立したランダム変数

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

のように簡略化

E [X^{2} Y^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) (σ_{Y}^{2} + μ_{Y}^{2}),

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] = \prod_{i = 1}^{n} (σ_{X_{i}}^{2} + μ_{X_{i}}^{2})

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$ これは、whuberが指摘した帰納的方法よりも、最終結果を得るためのより直接的な方法だと思います。

— ディリップサルワテ

@DilipSarwate、いいね。回答として投稿することをお勧めします。

— マクロ

$X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} var (X_{1} \dots X_{n}) & = E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] - {(E [X_{1} \dots X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2} \dots X_{n}^{2}] - {(E [(X_{1}] \dots E [X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] - (E [X_{1}])^{2} \dots (E [X_{n}])^{2} \\ = \prod_{i = 1}^{n} (var (X_{i}) + (E [X_{i}])^{2}) - \prod_{i = 1}^{n} {(E [X_{i}])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— ディリップ・サルワテ
ソース

どうもありがとう！ほんとうにありがとう。はい、質問は独立したランダム変数に関するものでした。

— ダムラ

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

質問を新しいページに投稿しました。どうもありがとう！stats.stackexchange.com/questions/53380/...

— damla

n

$n$

3

$3$