回帰に平方変数を含めるとどうなりますか？

OLS回帰から始めますここで、Dはダミー変数で、推定値は低いp値でゼロとは異なります。次に、Ramsey RESETテストを実行し、方程式の誤認があることを発見しました。したがって、xの2乗を含みます

y = β_{0} + β_{1} x_{1} + β_{2} D + ε

$y = \beta _0 + \beta_1x_1+\beta_2 D + \varepsilon$

y = β_{0} + β_{1} x_{1} + β_{2} x_{1}^{2} + β_{3} D + ε

$y = \beta _0 + \beta_1x_1+\beta_2x_1^2+\beta_3 D + \varepsilon$

二乗項は何を説明しますか？（Yの非線形増加？）
これを行うことにより、私のp推定値はゼロから変化せず、p値が高くなります。（一般的に）方程式の2乗項をどのように解釈しますか？

編集：質問を改善します。

— セイニ
ソース

別の変数を制御するときにANOVA /回帰結果が変わる理由の

— マクロ

推定理由：とが変動性を説明しているように見える

x_{1}^{2}

$x_{1}^2$

D

$D$

y

$y$

— 安定した魚

役立つかもしれないことの1つは、2乗項を作成する前にを中央に配置することです（こちらを参照）。二乗項の解釈については、を全体として解釈するのが最善であると主張します（こちらを参照）。もう1つは、相互作用が必要な場合があることです。つまり、追加することです。

x

$x$

β_{1} x_{1} + β_{2} x_{1}^{2}

$\beta_1x_1+\beta_2x_1^2$

β_{4} x_{1} D + β_{5} x_{1}^{2} D

$\beta_4x_1D+\beta_5x_1^2D$

— GUNG -復活モニカ

私はそれが本当にその質問の複製だとは思わない。解決策は異なります（変数のセンタリングはここで機能しますが、間違えない限り、ここでは機能しません）

— ピーターフロム-モニカの復職

@Peter、この質問を「なぜモデルに変数を追加すると、他の変数の効果推定/値が変化するのか？」のサブセットとして解釈します。これは他の質問で対処します。その質問への回答の中には、共線性（その質問への彼の回答で言及されている）/予測子間のコンテンツの重複（つまり、と間）があります。ここでも同じロジックが適用されます。論争が何であるかはわかりませんが、あなたと他の人が同意しないならそれは問題ありません。乾杯。

p

$p$

D

$D$

(x_{1}, x_{1}^{2})

$(x_1,x_1^2)$

— マクロ

回答:

さて、最初に、ダミー変数は切片の変化として解釈されます。つまり、係数は、場合、つまり場合、切片が場合に切片の差を示します。二乗追加しても、その解釈は変わりません。 $\beta_3$ $D=1$ $D=1$ $\beta_0 + \beta_3$ $x_1$

ここで、シリーズに2乗を追加するポイントは、特定のポイントで関係が消滅すると想定することです。2番目の方程式を見る

y = β_{0} + β_{1} x_{1} + β_{2} x_{1}^{2} + β_{3} D + ε

$y = \beta _0 + \beta_1x_1+\beta_2x_1^2+\beta_3 D + \varepsilon$

派生WRTの撮影収量を $x_1$

\frac{δ y}{δ x_{1}} = β_{1} + 2 β_{2} x_{1}

$\frac{\delta y}{\delta x_1} = \beta_1 + 2\beta_2 x_1$

この方程式を解くことで、関係の転換点がわかります。user1493368が説明したように、これは実際に場合は逆U字型を反映しており、逆も同様です。次の例をご覧ください。 $\beta_1<0$

\hat{y} = 1.3 + 0.42 x_{1} - 0.32 x_{1}^{2} + 0.14 D

$\hat{y} = 1.3 + 0.42 x_1 - 0.32 x_1^2 + 0.14D$

導関数wrtは $x_1$

\frac{δ y}{δ x_{1}} = 0.42 - 2 * 0.32 x_{1}

$\frac{\delta y}{\delta x_1} = 0.42 - 2*0.32 x_1$

を解くと $x_1$

\frac{δ y}{δ x_{1}} = 0 ⟺ x_{1} \approx 0.66

$\frac{\delta y}{\delta x_1} = 0 \iff x_1 \approx 0.66$

それが、関係に転換点があるポイントです。問題を視覚化するために、上記の関数に対するWolfram-Alphaの出力を見ることができます。

変化のceteris paribus効果解釈する際に、覚えておいてください上、あなたが式を見ています： $x_1$ $y$

Δ y = (β_{1} + 2 β_{2} x_{1}) Δ x

$\Delta y = (\beta_1 + 2\beta_2x_1)\Delta x$

つまり、二乗回帰変数を追加すると、を単独で解釈することはできません！ $\beta_1$ $x_1^2$

平方を含めた後の重要でないについては、仕様の誤りのバイアスを示しています。 $D$ $x_1$

— altabq
ソース

こんにちは。予測変数が複数ある場合、偏微分または全微分（微分）を使用する必要がありますか？

— スカン

偏微分はまだここに行く正しい方法です。すべての係数の解釈はceteris paribusです。つまり、他のすべてを一定に保ちます。それはまさに偏微分をとるときあなたがしていることです。

— -altabq

@altabqのすばらしい回答を補足するために、このUCLA IDREページを参照してください。

— シリル

変数の平方を含める良い例は、労働経済学です。y賃金（または賃金のログ）およびx年齢として想定する場合、含めるx^2ことは、年齢と賃金収入の間の2次関係をテストしていることを意味します。人が経験を積むにつれて、賃金は年齢とともに増加しますが、年齢が高くなると、賃金は減少率で増加し始め（人々は年を取り、以前ほど働けなくなります）、ある時点で賃金が伸びません（最適な賃金水準に達した後）低下し始めます（退職し、収入が減少し始めます）。したがって、賃金と年齢の関係は逆U字型です（ライフサイクル効果）。一般に、ここで言及されている例では、係数on ageは正であり、onage^2ここでのポイントは、変数の二乗を含めるための理論的根拠/経験的正当化が必要であることです。ここでのダミー変数は、労働者の性別を表すと考えることができます。性別と年齢の相互作用用語を含めて、性差が年齢によって異なるかどうかを調べることもできます。

— 指標
ソース