推定器がパラメーターから独立している必要があるのはなぜですか？

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これは、デボア他による「アプリケーションを備えた現代の数学的統計」からの抜粋です。サンプルをパラメーターに依存しているため、推定器がに依存するのを助けることができないのは私を困惑させます。 $\theta$

estimation

— qed
ソース

賢明な推定量は、データの（一定ではない）関数になることは間違いありません（ここでの私の例のように、いくつかの特別な、間違いなく病理学的な場合を除きます）。したがって、妥当な推定量は、データへの依存性を通じて依存すると言って間違いありません。しかし、私は文が意味することはすべて確信している $\theta$

ことを示しているそれはの関数であることを-確かに推定されに依存しないの $U^{\star}$ $X_i$ $\theta$

推定器の式にパラメーターを含めることはできません。これはようなものを除外することです。これは完全な推定量になります（データがなくても!!）が、それを計算するには超能力が必要です:-) $\hat{\theta} = \theta$

貼り付けた一節で述べたように、は十分な統計であるため、条件とするなどの統計の分布は依存しません。したがって、はに依存できず、問題のプロパティを持つことを保証します。 $T$ $U$ $T$ $\theta$ $U^{\star} = E(U|T)$ $\theta$

— 大きい
ソース

+1この質問は、この（評判の高い、人気のある）教科書の言語の興味深い曖昧さを明らかにします：「依存する」は、少なくとも3つの異なることを意味します！（1）は式に明示的には現れません。（2）は式に表示される場合がありますが、変更しても式は不変です。（3）は（おそらく一定の）確率変数と見なされ、確率変数の依存性という意味で「依存」を意図することができます。残念ながら、試みられた説明（「分布...は含まない」）はあいまいすぎてあまり役に立ちません。

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

こんにちは@whuber-（2）の意味がよくわかりません。私はその性質を持つ推定量を考えようとしています。関係なく、推定量の計算方法は同じになるということですか？これは、が数式に表示されないことに相当するようです。そうでなければ、あなたは再び推定量を計算するために心霊である必要があるでしょう？推定量の数値がの値に関係なく同じままであるという意味で不変を意味する場合、それは非常に優れた推定量のようには聞こえません:-)明確にできますか？

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— マクロ

それは微妙な違いですが、それは本当です。簡単な例として、パラメーターを使用して iid二項試行で成功を観察した後、明らかにが（許容される）推定量 "」と表示されますが、によって変化しないため有効です。iidの通常のサンプリング問題で、より微妙に（そしてそれでも些細なことですが）、推定器が関係するだけでなく、実際にによって変化します。ただし、定数が一定でない可能性はゼロであり、はそれらと同じくらい優れています。

k

$k$

n

$n$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + \log (\exp (θ)^{2}) / θ)

$(k+1)/(n+\log(\exp(\theta)^2)/\theta)$

θ

$\theta$

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

θ

$\theta$

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

— whuber

私はまだあなたのポイントを逃していると思います。最初の推定量では、なので、実際には式からキャンセルされ、。2つ目では、あなたのポイントが本当に足りないと思います。そこにが表示されません。が整数である確率はため、ようです。つまり、は確率、含みません。私はおそらく密集しています。コメントが長すぎる場合は、チャットでいつか行うことができます。

\log (\exp (θ)^{2}) = 2 θ

$\log( \exp(\theta)^2 ) = 2 \theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + 2)

$(k+1)/(n+2)$

μ

$\mu$

P (\bar{x} \in Q) = 0

$P( \overline{x} \in \mathbb{Q}) = 0$

\bar{x}

$\overline{x}$

\hat{μ} = \bar{x}

$\hat{\mu} = \overline{x}$

1

$1$

θ

$\theta$

— Macro

タイプミスについて申し訳ありません。その2番目の推定値はます。最初のケースの違いは、数式とその値の間です。（ところで、と式は、で失敗するため、完全に正しくありません。式が未定義の場合です。）

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 μ I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mu\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

\log (\exp (θ)^{2}) / θ

$\log(\exp(\theta)^2)/\theta$

2

$2$

θ = 0

$\theta=0$

— whuber