MCMCを使用した既知の密度の2変量分布からのサンプリング

RのMetropolisアルゴリズムを使用して2変量密度からシミュレーションを試みましたが、うまくいきませんでした。密度はとして表すことができます 。ここで、はSingh-Maddala分布です。p （y | x ）p （x ）p （x $p(x,y)$$p(y|x)p(x)$$p(x)$

$p(x)=\dfrac{aq x^{a-1}}{b^a (1 + (\frac{x}{b})^a)^{1+q}}$

パラメータ、、、およびは対数正規であり、対数平均は分数であり、log-sdは定数です。私のサンプルが私が欲しいものかどうかをテストするために、の限界密度を見ました。これはであるはずです。RパッケージのMCMCpack、mcmc、dreamとは異なるMetropolisアルゴリズムを試しました。バーンイン、シンニング、サイズ100万までのサンプルを廃棄しましたが、結果として得られる限界密度は、提供したものではありませんでした。$a$$q$p （y | x ）x x p （x $b$$p(y|x)$$x$$x$$p(x)$

これが私が使用した私のコードの最終版です：

logvrls <- function(x,el,sdlog,a,scl,q.arg) {
    if(x[2]>0) {
         dlnorm(x[1],meanlog=el*log(x[2]),sdlog=sdlog,log=TRUE)+
         dsinmad(x[2],a=a,scale=scl,q.arg=q.arg,log=TRUE)
    }
    else -Inf    
}

a <- 1.35
q <- 3.3
scale <- 10/gamma(1 + 1/a)/gamma(q - 1/a)*  gamma(q) 

Initvrls <- function(pars,nseq,meanlog,sdlog,a,scale,q) {
    cbind(rlnorm(nseq,meanlog,sdlog),rsinmad(nseq,a,scale,q))
}

library(dream)
aa <- dream(logvrls,
        func.type="logposterior.density",
        pars=list(c(0,Inf),c(0,Inf)),
        FUN.pars=list(el=0.2,sdlog=0.2,a=a,scl=scale,q.arg=q),
        INIT=Initvrls,
        INIT.pars=list(meanlog=1,sdlog=0.1,a=a,scale=scale,q=q),
        control=list(nseq=3,thin.t=10)
        )

それは収束までサンプリングするので、私は夢のパッケージに落ち着きました。3つの方法で正しい結果が得られるかどうかをテストしました。KS統計を使用し、変位値を比較し、結果のサンプルから最尤でSingh-Maddala分布のパラメーターを推定します。

ks.test(as.numeric(aa$Seq[[2]][,2]),psinmad,a=a,scale=scale,q.arg=q)

lsinmad <- function(x,sample)
    sum(dsinmad(sample,a=x[1],scale=x[2],q.arg=x[3],log=TRUE))
 optim(c(2,20,2),lsinmad,method="BFGS",sample=aa$Seq[[1]][,2])

 qq <- eq(0.025,.975,by=0.025)   
 tst <- cbind(qq,
              sapply(aa$Seq,function(l)round(quantile(l[,2],qq),3)),
              round(qsinmad(qq,a,scale,q),3))
 colnames(tst) <- c("Quantile","S1","S2","S3","True")

 library(ggplot2)
 qplot(x=Quantile,y=value,
       data=melt(data.frame(tst),id=1), 
       colour=variable,group=variable,geom="line")

これらの比較の結果を見ると、KS統計は、ほとんどの場合、サンプルは指定されたパラメーターを使用したSingh-Maddala分布からのものであるという帰無仮説を棄却します。最尤推定パラメーターは、その真の値に近づく場合がありますが、通常、サンプリングプロシージャが成功したことを受け入れるには快適ゾーンから離れすぎています。分位点についても同じですが、経験的分位点は遠すぎませんが、遠すぎます。

私の質問は私が間違っていることですか？私自身の仮説：

1. MCMCはこのタイプのサンプリングには適していません
2. 理論上の理由により、MCMCは収束できません（分布関数は、必要なプロパティを満たしていません）。
3. Metropolisアルゴリズムを正しく使用していません
4. 独立したサンプルがないので、私の配布テストは正しくありません。

順序は正しいと思いますが、p（x）とp（y | x）に割り当てられたラベルが間違っていました。元の問題では、p（y | x）は対数正規であり、p（x）はSingh-Maddalaです。っていうことは

1. Singh-MaddalaからXを生成し、

2. 生成されたXの一部である平均をもつ対数正規からYを生成します。

実際、問題は非常に単純なので、MCMCを実行するべきではありません。このアルゴリズムを試してください：

ステップ1：通常ログからXを生成する

ステップ2：このXを固定したまま、Singh MaddalaからYを生成します。

ほら！サンプル準備完了!!!