2つの独立したガンマ確率変数の合計

ガンマ分布に関するウィキペディアの記事によると：

もし$X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$と、及び独立ランダム変数であり、次いで、。X Y X + Y 〜G MをM（+のB 、θ $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$$X$$Y$$X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$

しかし、証拠は見当たりません。誰かがその証拠を教えてくれますか？

編集：Zenに感謝します。また、ウィキペディアのページで特性関数に関する回答を例として見つけました。

証明は次のとおりです。（1）独立したランダム変数の合計の特性関数は、個々の特性関数の積であることを忘れないでください。（2）ここでガンマランダム変数の特性関数を取得します ; （3）簡単な代数をする。

この代数的議論を超えた直感を得るには、whuberのコメントを確認してください。

注： OPは、ガンマランダム変数の特性関数を計算する方法を尋ねました。場合、そして（あなたが扱うことができ、私がこのような場合には、通常の定数として）$X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$$i$

$$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$$

今フーバーのチップを使用する：場合はは、Y = X 1 + ⋯ + X K、X I「sは独立しているE X P（λ = 1 / θ ）。したがって、プロパティ（1）を用いて、我々は ψ Y（T ）= （$Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$$Y=X_1+\dots+X_k$$X_i$$\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

$$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$$

ヒント：結果と証明を見つめながらこれらのことを学ぶことはありません。空腹を保ち、すべてを計算し、自分の証明を見つけようとします。たとえあなたが失敗したとしても、他の誰かの答えに対するあなたの感謝ははるかに高いレベルになります。そして、はい、失敗は大丈夫です：誰も見ていません！数学を学ぶ唯一の方法は、それぞれの概念と結果のために拳で戦うことです。

特性関数を使用する必要はありませんが、代わりに統計で他の用途があるいくつかのアイデアを補強する答えがあります。独立したランダム変数の合計の密度は、密度の畳み込みです。したがって、説明を簡単にするためにを使用すると、z > 0、 f X + Y（z $\theta = 1$$z > 0$

$$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$$

よりヒューリスティックなレベルで：If $a$ そして $b$ 整数であり、ガンマ分布はアーラン分布です。 $X$ そして $Y$ それぞれの待ち時間を記述する $a$ そして $b$ レート付きポアソン過程での発生 $\theta$。2つの待ち時間$X$ そして $Y$ は

1. 独立した
2. の待ち時間をまとめる $a+b$ 発生

との待ち時間 $a+b$ 発生は分散ガンマ（$a+b,\theta$）。

これはいずれも数学的な証明ではありませんが、接続の骨に肉を置くので、数学的な証明で肉付けしたい場合に使用できます。