XとXYのランダム変数間の相関係数が0.7になる傾向があるのはなぜですか

ダグラス・アルトマンが285ページで書いている医学研究のための実践統計から取られた：

... XとYの2つの数量について、XはXYと相関します。実際、XとYが乱数のサンプルであっても、XとXYの相関関係は0.7であると予想されます。

私はRでこれを試しましたが、そうであるようです：

x <- rnorm(1000000, 10, 2)
y <- rnorm(1000000, 10, 2)
cor(x, x-y)

xu <- sample(1:100, size = 1000000, replace = T)
yu <- sample(1:100, size = 1000000, replace = T)
cor(xu, xu-yu)

何故ですか？この背後にある理論は何ですか？

場合はとYがある無相関等分散を持つ確率変数σ 2、その後、我々はその持って VARを（X - Yを$X$$Y$$\sigma^2$ 従って、ρX、X-Y=COV（X、X-Y

$$\begin{align} \operatorname{var}(X-Y) &= \operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(-Y)\\ &= \operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(Y)\\ &=2\sigma^2,\\ \operatorname{cov}(X, X-Y) &= \operatorname{cov}(X,X) - \operatorname{cov}(X,Y) & \text{bilinearity of covariance operator}\\ &= \operatorname{var}(X) - 0 & 0 ~\text{because}~X ~\text{and}~ Y ~\text{are uncorrelated}\\ &= \sigma^2. \end{align}$$ だから、あなたが見つけたときに Σを N iが= 1（XI- ˉ X）（（XI-YI）- （ ˉ X - ˉ Y） $$\rho_{X,X-Y} = \frac{\operatorname{cov}(X, X-Y)}{\sqrt{\operatorname{var}(X)\operatorname{var}(X-Y)}}= \frac{\sigma^2}{\sqrt{\sigma^2\cdot2\sigma^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$ サンプルの相関X及びX-Y大きなデータセットについて{（XI、YI）：1≤I≤ $$\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i - \bar{x}\right) \left((x_i-y_i) - (\bar{x}-\bar{y})\right)}{ \sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i - \bar{x}\right)^2 \sum_{i=1}^n\left((x_i-y_i) - (\bar{x}-\bar{y})\right)^2}}$$ $x$$x-y$特殊なケースとして「乱数」を含むこれらのプロパティを持つ母集団から描画すると、結果は母集団相関値 1に近い傾向があります。$\{(x_i,y_i)\colon 1 \leq i \leq n\}$$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071\ldots$

幾何学的統計的説明。

$n$ $2$ $X$$Y$$X$$Y$

$X$$Y$$r=0$

$X$$Y$

$X-Y$$X+Y$

$X-Y$$X+Y$$\sqrt{2\sigma^2}$$X$$X-Y$$X+Y$$0.707...$

ここにも対称性に基づく単純な直観があると思います。XとYは同じ分布を持ち、共分散が0であるため、X±YとXの関係は、X±Yの変動の半分を「説明」するはずです。残りの半分はYで説明する必要があります。したがって、R ²は1/2でなければなりません。つまり、Rは1 /√2≈0.707です。

ここに、なぜ相関関係があるのか​​を簡単に考えてみましょう。

2つの分布を減算するとどうなるか想像してみてください。xの値が低い場合、平均して、x - yxの値が高い場合よりも低い値になります。xがx - y増加すると、平均して増加するため、正の相関があります。