正の半定行列の平方根はユニークな結果ですか？

私は観測の 時系列を分散共分散構造とランダム系列に分解しようとしています。$n$$\bf{\mathrm{v_c}}$$n \times n$$\sum$$\bf{\mathrm{v}}$

したがって、の自己相関関数から分散共分散行列を導出できます。これは、半正定値のテプリッツ行列になります。したがって、適切な行列を計算して、相関系列をランダムな信号に変換できます。 $\sum$$\bf{\mathrm{v_c}}$$\sum^{-\frac{1}{2}}$

$\bf{\mathrm{v}} = \sum^{-\frac{1}{2}}\bf{\mathrm{v_c}}$

これは、MATLABのsqrt（m）関数を使用して実行できますが、分散共分散行列のコレスキー分解を検出し、これを使用して相関を誘導することもできます。ただし、sqrtm法とコレスキー法を使用したランダムシリーズの結果は異なります（ただし多少似ています）。

さまざまな行列の平方根を確認する方法を決定するためにいくつかのテキストを読み、固有値分解法などを調べてきました。特定の所定の条件下では一意のソリューションしかないことがわかりますが、これらの一意のソリューションはまだ多くのルーツの1つにすぎないと思いますか？

私の質問はこれです。ある特定の平方根が別の平方根よりも好ましいと主張する方法はありますか。そうでない場合、すべての可能な解を抽出して、すべての可能なランダム関数を取得できる方法はありますか？

行列に「平方根」とます。あれは、$\mathbb{V}$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

$$\mathbb{V = AA^\intercal = BB^\intercal}.$$

簡単にするために、元の行列が可逆であると仮定します （これは、仮定の下で正定であることに相当します）。次に、、、およびそれらの転置も反転可能でなければなりません。$\mathbb{V}$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

$$\mathbb{I} = \mathbb{V^{-1}V} = \mathbb{V^{-1}AA^\intercal} = \mathbb{(V^{-1}A)A^\intercal}$$

左逆を示し、も反転可能であることを意味します。もちろん、同じ議論がにも当てはまります。これらの逆を利用して書き込みます$\mathbb{A}^\intercal$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

$$\mathbb{(B^{-1}A)(B^{-1}A)^\intercal = B^{-1} (A A^\intercal) B^{-1}{^\intercal} = B^{-1} (V) B^{-1}{^\intercal}=B^{-1}(BB^\intercal)B^{-1}{^\intercal} = I\ I = I},$$

ことを示すである直交行列：であり、。このようなマトリックスの形態2つの平滑実次元のマニホールドの集合あるによって。幾何学的に、直交行列は、行列式の符号に応じて、回転または回転に続く反射に対応します。$\mathbb{O=B^{-1}A}$$\mathbb{OO^\intercal=I}$$n(n-1)/2$$\mathbb{V}$$n$$n$

逆に、が平方根である場合、同様の（しかしより簡単な）計算により、も直交行列平方根であることがわかりますが可逆かどうかはここでは関係ありません。$\mathbb{A}$$\mathbb{V}$$\mathbb{AO}$$\mathbb{O}$$\mathbb{A}$

直交行列（と等しくない）による乗算が、可逆行列の平方根を実際に変更することも簡単にわかります。結局のところ、すぐに意味します。これは、正定行列の平方根が直交行列と1対1で対応できることを示しています。$\mathbb{I}$$\mathbb{AO = A}$$\mathbb{O = A^{-1}A = I}$

これは、正定行列の平方根が直交行列による乗算までしか決定されないことを示しています。 半定値の場合、状況はより複雑になりますが、少なくとも、直交行列を乗算すると平方根であるという特性が維持されます。

平方根に追加の基準を適用する場合は、一意の基準を特定するか、少なくともあいまいさを絞り込むことができる場合があります。それは特定の設定に依存します。