テストのサイズと有意性のレベル

2つの違いは何ですか？なぜ有意性のレベルは常にテストのサイズ以上でなければならないのですか？

パラメータ空間値を仮定するパラメータを含む分布からのランダムサンプルがあるとします。パラメータスペースをとしてパーティション分割し、仮説をテストする null と呼ばれますと対立仮説をそれぞれ。$X_1,\dots,X_n$$\theta$$\Theta$$\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1$

$$H_0 : \theta \in \Theta_0 \, ,$$ $$H_1 : \theta \in \Theta_1 \, ,$$

がランダムベクトルのすべての可能な値のサンプル空間を表すとしましょう。テストプロシージャを作成する目的は、このサンプル空間を2つの部分に分割することです。、帰無仮説を棄却するの値を含む臨界領域（したがって、代替受け入れる）、および受け入れ領域の値を含む、あなたが帰無仮説を棄却しないであろうため（及び、従って、別の拒否）。$\mathscr{X}$$X=(X_1,\dots,X_n)$$\mathscr{X}$C X H 0 H 1 A X H 0 H 1 $\mathscr{C}$$X$$H_0$$H_1$ $\mathscr{A}$$X$$H_0$$H_1$

正式には、テストプロシージャは測定可能な関数として記述することができ、各仮説を支持して行われた決定に関する明白な解釈があります。クリティカル領域はであり、許容領域は。$\varphi:\mathscr{X}\to\{0,1\}$$\mathscr{C}=\varphi^{-1}(\{1\})$$\mathscr{A}=\varphi^{-1}(\{0\})$

各テストプロシージャについて、その力関数をによって 定義します。 つまり、は、パラメーター値が場合にを拒否する確率を示します。$\varphi$$\pi_\varphi:\Theta\to[0,1]$

$$\pi_\varphi(\theta) = \Pr(\varphi(X)=1\mid\theta) = \Pr(X\in\mathscr{C}\mid\theta) \, .$$ $\pi_\varphi(\theta)$$H_0$$\theta$

が間違っているときにを拒否する決定。だから、与えられた問題のために、あなただけのこれらのテスト手順を検討することをお勧めします用すべてのために、れ、いくつかあるのレベル有意性（）。重要度のレベルは、テスト手順のクラスのプロパティであることに注意してください。このクラスはとして正確に記述できます $H_0$$\theta\in\Theta_0$$\varphi$$\pi_\varphi(\theta)\leq\alpha$$\theta\in\Theta_0$$\alpha$$0<\alpha<1$

$$\mathscr{T}_{\alpha} = \left\{ \varphi\in\{0,1\}^\mathscr{X} : \pi_\varphi(\theta)\leq\alpha, \textrm{for every}\; \theta\in\Theta_0\right\} \, .$$

それぞれに対する個々の試験手順、最大確率誤って拒絶の呼び出されるサイズ試験手順の。$\varphi$$\alpha_\varphi=\sup_{\theta\in\Theta_0}\pi_\varphi(\theta)$$H_0$$\varphi$

これらの定義から直接従うと、有意水準を確立し、したがって受け入れ可能なテストプロシージャのクラスを決定すると、このクラス内の各テストプロシージャサイズは、およびその逆。簡潔に言うと、場合に限り、です。$\alpha$$\mathscr{T}_{\alpha}$$\varphi$$\alpha_\varphi\leq\alpha$$\varphi\in\mathscr{T}_{\alpha}$$\alpha_\varphi\leq\alpha$