時系列の「レベル」とはどういう意味ですか？

私が研究している多くの文献では、厳密な定義が見つからずに頻繁に出現する用語の1つを調べています。具体的には、私は言われています：

時間インデックス付きランダム変数（RV）場合、加法分解モデルは次のように与えられます。 $\{X_t\}$

$X_{t} = l l (X_{t - 1}, X_{t - 2}, \dots) + f c (X_{t - 1}, X_{t - 2}, \dots, ε_{t}, ε_{t - 1}, \dots)$ $X_t = {ll}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots) + {fc}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots, \varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}, \ldots)$
どこ

$ll$ は長期レベルです。これは確率的プロセスであり、平滑化バージョンとして視覚化できます。決定論的なパターンであるトレンドと混同しないでください。 $\{X_t\}$

$fc$ は、ローカルレベルの変化を表す変動成分であり、定常的で平均レベルがゼロと仮定

$\{\varepsilon_t\}$ はイノベーションであり、IID平均ゼロRVです

しかし、間の意味の違い何である傾向対長期レベル対ローカルレベル対平均レベルは？

さらに、変動コンポーネントとイノベーションは同じものをモデル化していませんか？これは、各観測に関連するノイズです。それでは、なぜ両方を含めることで複雑にするのでしょうか。

time-series definition

— mchen
ソース

これは、統合の順序に関係しています。確率過程オーダーで統合されると言われる等価、〜が静止している場合。場合〜と、プロセスは、注文の積算されると言われている、次に非定常です。上記の分解では、（変動成分およびイノベーションとしての）定常成分と非定常確率トレンド成分を除外しようとします。確率論的傾向が異なっている決定論的傾向、及び通路内の単語の傾向の使用量がずさんです。 $X_t$ $0$ $X_t$ $I(0)$ $X_t$ $I(d)$ $d>0, d \in \mathbb{N}$ $d$

これにより、すべてのサウンドが複雑になります。例を考えてみましょう。テイク〜ホワイトノイズプロセスとしてとletこと。次のラグ多項式を定義します $\varepsilon_t$ $(0,\sigma^2)$ $\varepsilon_t$ $iid$

\begin{aligned} C_{1} (L) & = 0.5 L + 0.25 L^{2} - 0.75 L^{3} - 0.05 L^{4} \end{aligned}

$\begin{align} C_1(L) &= 0.5L + 0.25L^2 -0.75L^3 -0.05 L^4 \\ \end{align}$

ラグ演算子、として時間インデックス付きのランダム変数に作用します。さらに、が次のように生成されるとします。 $L$ $L^k\varepsilon:=\varepsilon_{t-k}$ $X_t$

\begin{aligned} X_{t} = X_{t - 1} + C_{1} (L) ε_{t} + ε_{t} \end{aligned}

$\begin{align} X_t = X_{t-1} + C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t \end{align}$

次に、抜粋の用語を使用すると、長期レベルはによって定義され、季節/変動コンポーネントはによって定義され、イノベーションはによって定義されます。抜粋で説明したように、変動成分とイノベーションは定常的です。 $X_{t-1}$ $C_1(L)\varepsilon_t$ $\varepsilon_t$

それがそのように呼ばれる理由は、それ以上の発言をしないと少しわかりにくく、前述の統合の順序に関係しています。通常、または超える次数の統合プロセスは発生しないため、上記の統合次数例を考えてみましょう。 $1$ $2$ $1$

まず、定義します。そう、静止している〜。今、我々は書くことができるこのことを教えてくれる〜の第1の差分を順次積算されているので、。実際に何を意味するかを理解するまで、この意味を理解するのは難しいかもしれません。これは、を書き換えることができることを意味しこれは劇的に見えないかもしれません： $u_t := C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$ $u_t$ $u_t$ $I(0)$

\begin{aligned} X_{t} & = X_{t - 1} + u_{t} ⟺ \\ X_{t} - X_{t - 1} & = (1 - L) X_{t} = Δ X_{t} = u_{t} \end{aligned}

$\begin{align} X_t &= X_{t-1} + u_t \Longleftrightarrow\\ X_t - X_{t-1} &= (1-L)X_t = \Delta X_t = u_t \\ \end{align}$

X_{t}

$X_t$

I (1)

$I(1)$

0

$0$

Δ X_{t} = u_{t}

$\Delta X_t = u_t$

\begin{aligned} X_{t} & = \sum_{i = 1}^{\infty} Δ X_{t} = \sum_{i = 1}^{\infty} u_{t} \end{aligned}

$\begin{align} X_t &= \sum_{i=1}^{\infty} \Delta X_t = \sum_{i=1}^{\infty} u_t\\ \end{align}$

E (X_{t}) = 0

$\mathbb{E}(X_t) = 0$ 、結局のところ！ただし、このプロセスの分散は有限ではなく、爆発します。これが、この用語が確率的トレンドを定義している理由です。それは決定論的ではありませんが（たとえば、線形トレンドのように）、非定常成分をフィルターで除去してからと、は定常になります。（この場合、以前に観察されたように、は、非定常成分を除去し、静止します。）これを行わない場合、以降、通常の統計的推論手順は機能しません

\infty

$\infty$

X_{t}

$X_t$

X_{t}

$X_{t}$

Δ X_{t} = X_{t} - X_{t - 1} = C_{1} (L) ε_{t} + ε_{t}

$\Delta X_t = X_t - X_{t-1}=C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$

X_{t}

$X_{t}$ は、不変の原理/汎関数中心極限定理によってブラウン運動に収束します。これらの結果は、自動回帰、共積分問題などの標準のCLR結果を置き換えます。

— エレミアスK
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