バイアスが不明なコインが与えられた場合、公正なコインから効率的に変量を生成します

未知のバイアスコインが与えられた場合、ベルヌーイ分布で確率0.5の変量を（可能な限り効率的に）どうやって生成できますか？つまり、生成された変量ごとのフリップの最小数を使用します。$p$

これは、こことstackoverflowで説明されているいくつかの優れたソリューションのよく知られている問題です（私は複数のリンクを投稿することはできないようですが、グーグル検索でいくつかの興味深いエントリが表示されます）。ウィキペディアのエントリをご覧ください

http://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_biased_coin

これは古典的な問題であり、フォンノイマンに元々あると考えられています。1つの解決策は、ペアが異なるまでコインをペアで投げ続け、次にペアの最初のコインの結果に従うことです。

$(X_i,Y_i)$$i$$X_i$$Y_i$$p$$P(X_i=H|X_i\neq Y_i)=P(X_i=T|X_i\neq Y_i)$$P(X_i=H|X_i\neq Y_i)=1/2$$X_i\neq Y_i$$(H,T)$$(T,H)$

経験的に、このような不均等なペアになるまでの待ち時間は

$p$

$n$$t$$\binom{n}{t}$$n$$t$$n'$$t'$$\binom{n'}{t'}$

説明する：

$\binom42$

$\binom52$$\binom83$

$p=\frac12$$\frac1{128}$$\frac{53}{16}$$\frac{1}{16}$$\frac{128}{127} \cdot \frac{53}{16} = \frac{424}{127} < 4$

停止点を出力するPythonプログラムを作成しました。

import scipy.misc
from collections import defaultdict


bins = defaultdict(list)


def go(depth, seq=[], k=0):
    n = len(seq)
    if scipy.misc.comb(n, k, True) % 2 == 0:
        bins[(n,k)].append("".join("T" if x else "F"
                                   for x in seq))
        return
    if n < depth:
        for i in range(2):
            seq.append(i)
            go(depth, seq, k+i)
            seq.pop()

go(8)

for key, value in sorted(bins.items()):
    for i, v in enumerate(value):
        print(v, "->", "F" if i < len(value) // 2 else "T")
    print()

プリント：

FT -> F
TF -> T

FFFT -> F
FFTF -> T

FFTT -> F
TTFF -> T

TTFT -> F
TTTF -> T

FFFFFT -> F
FFFFTF -> T

TTTTFT -> F
TTTTTF -> T

FFFFFFFT -> F
FFFFFFTF -> T

FFFFFFTT -> F
FFFFTTFF -> T

FFFFTTFT -> F
FFFFTTTF -> T

FFFFTTTT -> F
TTTTFFFF -> T

TTTTFFFT -> F
TTTTFFTF -> T

TTTTFFTT -> F
TTTTTTFF -> T

TTTTTTFT -> F
TTTTTTTF -> T