カーネル密度推定器のバイアス（定期的なケース）

カーネル密度推定量は次式で与えられる F（X 、H ）= 1X1、。。。Xn iid、密度は不明、f、h-帯域幅、

$$\hat{f}(x,h)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K(\frac{x-X_{i}}{h})$$ $X_1,...X_n$$f$$h$

$K$ -カーネル関数（ $\int_{-\infty}^{\infty}K(x)dx=1$、 $\int_{-\infty}^{\infty}K(x)xdx=0$、 $\int_{-\infty}^{\infty}K(x)x^2dx<\infty$）。バイアスは、テイラー展開を用いて計算することができる。

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{h}K(\frac{x-y}{h})f(y)dy-f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}K(y)\left(f(x-hy)-f(x)\right)dy$$ $$=\int_{-\infty}^{\infty}K(y)\left(f'(x)hy+\frac{1}{2}f''(x)(hy)^{2}+o(h^{2})\right)dy=\frac{1}{2}f''(x)h^{2}+o(h^{2})$$

周期的なカーネルと扱い方（、、）？∫ 1 0 K （X ）D 、X = 1 ∫ 1 0 K （X ）X 、D 、X = 0 ∫ 1 0 K （X ）X 2 D X < $f$$\int_{0}^{1}K(x)dx=1$$\int_{0}^{1}K(x)xdx=0$$\int_{0}^{1}K(x)x^2dx<\infty$

テイラー展開を使用するにはどうすればよいですか？（カーネルのプロパティは使用できません）$\int_{0}^{1}\frac{1}{h}K(\frac{y-x}{h})f(y)dy=\int_{-\frac{x}{h}}^{1-\frac{x}{h}}K(y)f(x-yh)dy\neq\int_{0}^{1}K(y)f(x-yh)dy$

循環データのカーネル平滑化についての良い本を勧めてくれませんか？

簡単なグーグルはこれを思い起こさせます、それは循環データを扱うときあなたが最初に「バイアス」の異なる定義が必要になることを示す：

円上のデータを使用している場合しかし、我々は、ユークリッド空間内の距離を使用することはできませんすべての相違ので、θ - θ _iは、 2つのベクトル間の角度を考慮して交換する必要があります。

$d_i\theta)= \| \theta -\theta_i \| = \min(|\theta-\theta_i|, 2π -|\theta-\theta_i|).$

-チャールズCテイラー。循環密度推定のための自動帯域幅選択。Computational Statistics＆Data Analysis Volume 52、Issue 7、15 March 2008、Pages 3493-3500。土井：10.1016 / j.csda.2007.11.003

彼はこれらの本を参照します：

S. Rao JammalamadakaおよびA. SenGupta、Circular Statistics in Topics、World Scientific、シンガポール（2001）。

KV Mardia and PE Jupp、方向統計、ジョン・ワイリー、チチェスター（1999）。