の期待値をどのように計算します

場合 $X_i$ 指数関数的に分布している $(i=1,...,n)$ パラメータと $\lambda$ と $X_i$ 「sは、互いに独立している、の期待何

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

面で $n$ と $\lambda$ とおそらく他の定数は？

注：この質問は、https : //math.stackexchange.com/q/12068/4051で数学的な答えを得ています。読者もそれを見るでしょう。

expected-value exponential gamma-distribution

— アイザック
ソース

この質問の2つのコピーは相互に参照しており、適切には、統計サイト（ここ）には統計的な答えがあり、数学サイトには数学的な答えがあります。それは良い分裂のようです：それを立ててください！

— whuber

回答:

もしは、（独立下）、ので、ガンマ分布する（参照あるウィキペディア）。したがって、必要なのはだけです。以降 $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ 、我々は知っている。したがって、（参照ウィキペディアガンマ分布の期待値と分散のために）。 $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

— ヴォルフガング
ソース

ありがとう。数分前にmath.stackexchange（質問の上のリンク）で質問に答える（同じ答えにつながる）非常にきちんとした方法も提供されました。

— ヴォルフガング

数学の答えは、期待の線形性を使用して積分を計算します。いくつかの点で簡単です。しかし、統計的知識を活用するため、ソリューションが気に入っています。独立した指数変数の合計がガンマ分布を持っていることがわかっているので、完了です。

— whuber

私はそれをかなり楽しんだし、統計学者でも数学者でもない。

— コルトゥク

非常にエレガントな答え。

— サイラスS

@Dilip数学者は、この質問を積分を求めていると見なす傾向があり、直接積分を進めます。統計学者は、分散などのなじみのある統計量、および指数がガンマであり、たたみ込みの下でガンマ族が閉じているなどのなじみのある統計的関係の観点からそれを再表現します。答えは同じですが、アプローチは完全に異なります。次に、「統合を行う」とはどういう意味かという疑問があります。たとえば、この複雑な積分は純粋に代数的に行われます。

— whuber

上記の答えは非常に素晴らしく、質問に完全に答えますが、代わりに、予想される合計の二乗の一般式を提供し、ここで言及した特定の例に適用します。

定数のいずれかのセットについてそれが事実であります $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

これはtrueです分配的性質、あなたが計算するとき、あなたがやっているかを考えたときに明確になる手で。 $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

したがって、ランダム変数 …のサンプルに対して、分布に関係なく、 $X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

これらの期待が存在する場合。

$X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ for each $i$ . By independence, for $i \neq j$ , we have

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

There are $n^2 - n$ of these terms in the sum. When $i = j$ , we have

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

and there are $n$ of these term in the sum. Therefore, using the formula above,

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

is your answer.

— Macro
ソース

This problem is just a special case of the much more general problem of 'moments of moments' which are usually defined in terms of power sum notation. In particular, in power sum notation:

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

Then, irrespective of the distribution, the original poster seeks $E[s_1^2]$ (provided the moments exist). Since the expectations operator is just the 1st Raw Moment, the solution is given in the mathStatica software by:

[ The '___ToRaw' means that we want the solution presented in terms of raw moments of the population (rather than say central moments or cumulants). ]

Finally, if $X$ ~ Exponential( $\lambda$ ) with pdf $f(x)$ :

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

then we can replace the moments $\mu_i$ in the general solution sol with the actual values for an Exponential random variable, like so:

All done.

P.S. The reason the other solutions posted here yield an answer with $\lambda^2$ in the denominator rather than the numerator is, of course, because they are using a different parameterisation of the Exponential distribution. Since the OP didn't state which version he was using, I decided to use the standard distribution theory textbook definition Johnson Kotz et al … just to balance things out :)

— wolfies
ソース