多次元ポイント間の分散を見つける方法は？

n行p列の行列Xがあるとします。つまり、p次元空間での各観測に対してn個の観測があります。

これらのn個の観測値の分散をどのように見つけますか？

p = 1の場合は、正規分散式を使用するだけです。p> 1の場合はどうでしょうか。

以下のため次元確率変数X = （X 1、... 、XのP） ⊺、我々は分散の以下の定義を持っています：$p$$X = {\left( {{X_1}, \ldots ,{X_p}} \right)^\intercal}$

$$Var\left( X \right) = E\left[ {\left( {X - EX} \right){{\left( {X - EX} \right)}^\intercal}} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {Var\left( {{X_1}} \right)}& \ldots &{Cov\left( {{X_1},{X_p}} \right)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {Cov\left( {{X_p},{X_1}} \right)}& \ldots &{Var\left( {{X_p}} \right)} \end{array}} \right)$$

つまり、ランダムベクトルの分散は、主対角線上のすべての分散と、他の要素の異なるコンポーネント間の共分散を格納する行列として定義されます。次に、標本変数共分散行列は、母集団変数の標本類似体を接続することによって計算されます。$p \times p$

$$\frac{1}{{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)}^2}} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot 1}}} \right)} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)}^2}} } \end{array}} \right)$$ ${X_{ij}}$$i$$j$${{\bar X}_{ \cdot j}}$$j$番目の機能。要約すると、ランダムベクトルの分散は、個々の分散と共分散を含む行列として定義されます。したがって、すべてのベクトルコンポーネントのサンプル分散と共分散を個別に計算するだけで十分です。