統計におけるベクトル計算

今学期は、いくつかの変数の関数の統合とベクトル計算についてクラスを教えています。このクラスはほとんどの経済学専攻と工学専攻で構成されており、数学や物理学の専門家もいます。私はこの学期を前学期に教えました、そして、経済学専攻の多くは後半にかなり退屈であることがわかりました。共同で分布した確率変数を使用していくつかの計算を行うことで、複数の積分を動機づけることができましたが、コースのベクトル分析の部分については、物理学に基づいて考えることができる唯一の動機付けでした。

だから、誰かがベクトル計算の主要な定理のいずれかの統計的/確率論的解釈を知っているかどうか疑問に思っています：グリーンの定理、ストークスの定理、そして発散の定理。問題の一部は、発散、勾配、またはカールは言うまでもなく、確率論ではベクトル場があまり頻繁に出現しないように見えることです。数日前にこの質問をmath.stackexchangeにも投稿しましたが、まだ他のアイデアを探しています。

調べることができる1つの例は、準尤度です。McCullagh＆Nelder：Generalized Linear Modelsでのこれらの議論では、（理論的な部分について）勾配と経路積分を基本的な方法で使用しています！その本の第9章を参照してください。

物理学と工学について教えられているように、多くの統計学者がベクトル計算を使用しなければならないのではないでしょうか。しかし、ここで価値があるのは、少なくとも接線的にそれを使用するいくつかのトピックです。ここでの基本的なテーマは、調和関数で構成される複雑な分析からの正則関数が、コーシーリーマン方程式を通じてストークスおよびグリーンの定理の両方に密接にリンクされていることです。これらの関数は、境界とともにドメインの内部を調べることで調べることができます。

確率の流れ。これは量子力学だけのものではありません。一般に、確率の拡散は、滑らかに変化する時変確率分布を調べるときに発生します。これには、熱方程式、流体力学のナビエストークス、量子力学の波動方程式など、古典的なシステムの確率論的バージョンが含まれます。方程式の例には、フォッカープランク方程式とコルモゴロフ後向き/前進方程式に発散が含まれ、これらは次に関連します。熱方程式、フェイナン・カック積分、ディリクレ問題、グリーン関数に。ここのキーワードは複雑な調和関数ですこれは、グリーンの積分定理とストークスの定理の結果である平均値特性を満たします。古典的な例は、閉じた領域からの拡散の出口時間を計算することです。これは、表面の境界で積分を評価し、領域内の調和性を利用することになります。

ここでの主な例は、ブラウン運動に関連する問題であり、一般的にはIto Diffusionsの幅広いクラスです。これに関する素晴らしい（そして風変わりな！）本は、伝説的なカイ・チョンによるグリーン、ブラウン、そして確率です。

確率の分解定理は、暗黙的にストークスのシューレムです。つまり、3次元確率測度を、​​そのサポートを囲む表面の境界に分解します。

統計力学とマルコフ確率場では、電流の形で保存が広く行われています。特に臨界点でのイジングモデルとその関係は、離散調和関数と正則関数の観点から研究できます。コーシーリーマン方程式から、グリーンの定理とストークスの定理の両方が復元されます。これは、電流が発散せず、カールもないため、基礎となる場が正則であることを意味します。これについての素晴らしい参考文献は、スミルノフ、チェルカック、ドミニルコピンの作品からのものです。