テニスの試合が1つの大きなセットであった場合、同じ精度を与えるゲームはいくつありますか？

テニスには独特の3層のスコアリングシステムがあり、より良いプレーヤーを決定するための実験としての試合という観点から、これには統計的な利点があるのだろうかと思います。

慣れていない人のために、通常のルールでは、2ポイントのリードがある限り、ゲームは最初から4ポイントで勝ちます（つまり、4-2の場合は勝ちますが、4-3の場合はさらに1ポイントが必要です。 1人のプレイヤーが2つ先になるまで進みます）。

セットはゲームのコレクションであり、セットは最初から6までに勝ち、再び2で勝たなければなりません。ただし、今回は特別なタイブレーカーゲームが行われます（ウィンブルドンの最終セットなどを除く）。 ..）

試合は、競争に応じて最初の2セットまたは3セットで勝ちます。

今、テニスはゲームが不公平であるという点でも奇妙です。どの時点でも、サーバーには大きな利点があります。したがって、サーバーが交互に行うゲームは異なります。

タイブレーカーゲームでは、すべてのポイントの後にサーブが交互に行われ、2ポイントのリードで、最初から7ポイントになります。

プレーヤーAがサーブでポイントを獲得する確率が$p_s$あり、を受け取ったと仮定し$p_r$ます。

問題はこれです。

A）ビッグ「Nゲームのベスト」マッチとしてテニスをしたばかりで、通常のベスト5セットテニスと同じ精度を与えるゲームの数

B）ちょうど大きなタイブレーカーゲームとしてテニスをプレイした場合、5セットテニスの通常のベストと同じ精度を与えるポイントはいくつですか？

明らかに、これらの答えはとp rの値自体に依存するため、知っておくとよいでしょう$p_s$$p_r$

C）、p rが一定の場合、通常のテニスでプレイされるゲームとポイントの予想数はいくらですか$p_s$$p_r$

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「精度」の定義

両方のプレイヤーのスキルが一定であると仮定した場合、無限の時間プレイした場合、プレイの形式に関係なく、いずれかのプレイヤーがほぼ確実に勝ちます。このプレイヤーは「正しい」勝者です。正しい勝者はのプレイヤーであると確信しています。$p_r+p_s > 1$

プレイのより良い形式は、同じポイント数で正しい勝者をより頻繁に生成するか、逆に少数のポイントで同じ確率で正しい勝者を生成するものです。

あなたがゲームをプレイした場合あなたがで勝つために持っているポイント、2、あなたはプレイヤーは6点を再生想定することができます。2で勝ったプレイヤーがいない場合、スコアは3 − 3に結びつき、1人のプレイヤーが両方に勝つまでポイントのペアをプレイします。これは、各ポイントを獲得するチャンスがpである場合、4ポイントまでゲームを獲得するチャンスは、$4$$2$$2$$3-3$$4$$p$

。

$$p^6 + 6p^5(1-p) + 15p^4(1-p)^2 + 20 p^3(1-p)^3 \frac{p^2}{p^2 + (1-p)^2}$$

トップレベルの男子プレイでは、サーバーのは約0.65になる場合があります。（男性がセカンドサーブでリラックスしなかった場合、0.66になります。）この式によると、サーブを保持するチャンスは約82.96 ％です。$p$$0.65$$0.66$$82.96\%$

タイブレーカーをポイントでプレイしているとします。ポイントはペアでプレイされ、各プレイヤーは各ペアの1つにサービスを提供すると想定できます。誰が最初に仕えるかは問題ではありません。プレイヤーは12ポイントをプレイすると仮定できます。その時点で同点の場合、1人のプレイヤーが両方のペアに勝つまでペアをプレイします。つまり、条件付きで勝つチャンスはp s p r /（p s p r + （1 − p s）（1 − p r））。正しく計算すれば、タイブレーカーで7に勝つチャンス$7$$12$$p_sp_r/(p_sp_r + (1-p_s)(1-p_r))$$7$ ポイントは

$$6 p_r^6 ps + 90 p_r^5 p_s^2 - 105 p_r^6 p_s^2 + 300 p_r^4 p_s^3 - 840 p_r^5 p_s^3 + 560 p_r^6 p_s^3 + 300 p_r^3 p_s^4 - 1575 p_r^4 p_s^4 + 2520 p_r^5 p_s^4 - 1260 p_r^6 p_s^4 + 90 p_r^2 p_s^5 - 840 p_r^3 p_s^5 + 2520 p_r^4 p_s^5 - 3024 p_r^5 p_s^5 + 1260 p_r^6 p_s^5 + 6 p_r p_s^6 - 105 p_r^2 p_s^6 + 560 p_r^3 p_s^6 - 1260 p_r^4 p_s^6 + 1260 p_r^5 p_s^6 - 462 p_r^6 p_s^6 + \frac{p_r p_s}{p_r p_s + (1-p_r)(1-p_s)}(p_r^6 + 36 p_r^5 p_s - 42 p_r^6 p_s + 225 p_r^4 p_s^2 - 630 p_r^5 p_s^2 + 420 p_r^6 p_s^2 + 400 p_r^3 p_s^3 - 2100 p_r^4 p_s^3 + 3360 p_r^5 p_s^3 - 1680 p_r^6 p_s^3 + 225 p_r^2 p_s^4 - 2100 p_r^3 p_s^4 + 6300 p_r^4 p_s^4 - 7560 p_r^5 p_s^4 + 3150 p_r^6 p_s^4 + 36 p_r p_s^5 - 630 p_r^2 p_s^5 + 3360 p_r^3 p_s^5 - 7560 p_r^4 p_s^5 + 7560 p_r^5 p_s^5 - 2772 p_r^6 p_s^5 + p_s^6 - 42 p_r p_s^6 + 420 p_r^2 p_s^6 - 1680 p_r^3 p_s^6 + 3150 p_r^4 p_s^6 - 2772 p_r^5 p_s^6 + 924 p_r^6 p_s^6)$$

$p_s=0.65, p_r=0.36$$51.67\%$

$6$$10$$5-5$ then play $2$ more games. If those do not determine the winner, then play a tie-breaker, or in the fifth set just repeat playing pairs of games. Let $p_h$ be the probability of holding serve, and let $p_b$ be the probability of breaking your opponent's serve, which may be calculated above from the probability to win a game. The chance to win a set without a tiebreak follows the same basic formula as the chance to win a tie-breaker, except that we are playing to $6$ games instead of to $7$ points, and we replace $p_s$ by $p_h$ and $p_r$ by $p_b$.

The conditional chance to win a fifth set (a set with no tie-breaker) with $p_s=0.65$ and $p_r=0.36$ is $53.59\%$.

The chance to win a set with a tie-breaker with $p_s=0.65$ and $p_r=0.36$ is $53.30\%$.

The chance to win a best of $5$ sets match, with no tie-breaker in the fifth set, with $p_s=0.65$ and $p_r=0.36$ is $56.28\%$.

So, for these win rates, how many games would there have to be in one set for it to have the same discriminatory power? With $p_s=0.65, p_r=0.36$, you win a set to $24$ games with the usual tiebreaker $56.22\%$, and you win a set to $25$ game with a tie-breaker possible $56.34\%$ of the time. With no tie-breaker, the chance to win a normal match is between sets of length $23$ and $24$. If you simply play one big tie-breaker, the chance to win a tie-breaker of length $113$ is $56.27\%$ and of length $114$ is $56.29\%$.

This suggests that playing one giant set is not more efficient than a best of 5 matches, but playing one giant tie-breaker would be more efficient, at least for closely matched competitors who have an advantage serving.

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Here is an excerpt from my March 2013 GammonVillage column, "Game, Set, and Match." I considered coin flips with a fixed advantage ($51\%$) and asked whether it is more efficient to play one big match or a series of shorter matches:

... If a best of three is less efficient than a single long match, we might expect a best of five to be worse. You win a best of five $13$ point matches with probability $57.51\%$, very close to the chance to win a single match to $45$. The average number of matches in a best of five is $4.115$, so the average number of games is $4.115 \times 21.96 = 90.37$. Of course this is more than the maximum number of games possible in a match to $45$, and the average is $82.35$. It looks like a longer series of matches is even less efficient.

How about another level, a best of three series of best of three matches to $13$? Since each series would be like a match to $29$, this series of series would be like a best of three matches to $29$, only less efficient, and one long match would be better than that. So, one long match would be more efficient than a series of series.

What makes a series of matches less efficient than one long match? Consider these as statistical tests for collecting evidence to decide which player is stronger. In a best of three matches, you can lose a series with scores of $13-7 ~~ 12-13 ~~ 11-13$. This means you would win $36$ games to your opponent's $33$, but your opponent would win the series. If you toss a coin and get $36$ heads and $33$ tails, you have evidence that heads is more likely than tails, not that tails is more likely than heads. So, a best of three matches is inefficient because it wastes information. A series of matches requires more data on average because it sometimes awards victory to the player who has won fewer games.