ウェルチ検定の自由度は常にプールされた検定のDFよりも小さいですか？

私は基礎統計学のコースを教えており、私たちは、分散が等しくない2つの独立したサンプルのt検定（ウェルチ検定）を行っています。私が見た例では、ウェルチテストで使用される調整された自由度は常にです。 $n_1+n_2-2$

これは常にそうですか？ウェルチ検定は、プールされた（等分散）t検定の自由度を常に低減（または変更せずに）しますか？

同じ主題で、サンプルの標準偏差が等しい場合、ウェルチ検定のDFは減少しますか？数式を見ましたが、代数が乱雑になりました。$n_1+n_2-2$

はい。

$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ $df'<df$$df'$$n_1-1$$n_2-1$$n_1+n_2-2~df$

ここに「公式の」参照があります（上記の調整（通常使用される調整）は2番目の論文で導出されています）：

• ウェルチ、BL（1938）。「母集団の分散が等しくない場合の2つの平均の違いの重要性」。 Biometrika、 29、3 / 4、pp。350–62。
• Satterthwaite、FE（1946）。「分散成分の推定値の近似分布」。 Biometrics Bulletin、 2、6、pp。110–114。
• ウェルチ、BL（1947）。「いくつかの異なる母集団分散が関与する場合の「学生」問題の一般化」。 Biometrika、 34、1 / 2、28-35ページ。

（グーグルでこれらの非ゲートバージョンが生成される場合があります）。