ポイントワイズ積でのカーネル関数の近さの証明

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2つのカーネル関数の個別の積がカーネル関数であることをどのように証明できますか？

machine-learning kernel-trick

— ジギリ
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ポイントワイズ積では、が両方とも有効なカーネル関数である場合、それらの積は $k_1(x,y), k_2(x,y)$

\begin{aligned} k_{p} (x, y) = k_{1} (x, y) k_{2} (x, y) \end{aligned}

$\begin{align} k_{p}( x, y) = k_1( x, y) k_2(x,y) \end{align}$

また、有効なカーネル関数です。

マーサーの定理を呼び出すと、この特性を証明するのはかなり簡単です。以来有効なカーネルである、我々は、彼らが内積表現を認めなければならないこと（マーサー経由で）知っています。みましょうの特徴ベクトル表しと同じことを示して。 $k_1, k_2$ $a$ $k_1$ $b$ $k_2$

\begin{aligned} k_{1} (x, y) = a (x)^{T} a (y), a (z) = [a_{1} (z), a_{2} (z), \dots a_{M} (z)] \\ k_{2} (x, y) = b (x)^{T} b (y), b (z) = [b_{1} (z), b_{2} (z), \dots b_{N} (z)] \end{aligned}

$\begin{align} k_1(x,y) = a(x)^T a(y), \qquad a( z ) = [a_1(z), a_2(z), \ldots a_M(z)] \\ k_2(x,y) = b(x)^T b(y), \qquad b( z ) = [b_1(z), b_2(z), \ldots b_N(z)] \end{align}$

したがっては -dimベクトルを生成する関数であり、は -dimベクトルを生成します。 $a$ $M$ $b$ $N$

次に、製品をおよび観点から記述し、いくつかの再グループ化を実行します。 $a$ $b$

\begin{aligned} k_{p} (x, y) & = k_{1} (x, y) k_{2} (x, y) \\ = (\sum_{m = 1}^{M} a_{m} (x) a_{m} (y)) (\sum_{n = 1}^{N} b_{n} (x) b_{n} (y)) \\ = \sum_{m = 1}^{M} \sum_{n = 1}^{N} [a_{m} (x) b_{n} (x)] [a_{m} (y) b_{n} (y)] \\ = \sum_{m = 1}^{M} \sum_{n = 1}^{N} c_{m n} (x) c_{m n} (y) \\ = c (x)^{T} c (y) \end{aligned}

$\begin{align} k_{p}(x,y) &= k_1(x,y) k_2(x,y) \\&= \Big( \sum_{m=1}^M a_m(x) a_m(y) \Big) \Big( \sum_{n=1}^N b_n(x) b_n(y) \Big) \\&= \sum_{m=1}^M \sum_{n=1}^N [ a_m(x) b_n(x) ] [a_m(y) b_n(y)] \\&= \sum_{m=1}^M \sum_{n=1}^N c_{mn}( x ) c_{mn}( y ) \\&= c(x)^T c(y) \end{align}$

ここで、は次元ベクトル、stです。 $c(z)$ $M \cdot N$ $c_{mn}(z) = a_m(z) b_n(z)$

これで、機能マップを使用してを内積として記述できるため、が有効なカーネルであることがわかります（マーサーの定理による）。これですべてです。 $k_p(x,y)$ $c$ $k_p$

— マイク・ヒューズ
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ヒルベルト空間の特徴が有限次元であることをどうやって知っていますか？それも分離不可能ではないでしょうか？

— Andrei Kh

最初の段落によると、カーネルのみが内積表現の存在をすることを知っています。しかし、あなたの結論では、内積表現の存在はがカーネルであることを意味するとします。なぜそれが有効なのですか？

k

$k$

⟹

$\implies$

k_{p}

$k_p$

— Viktor Glombik

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次の証明はどうですか：

出典：UChicagoカーネルメソッド講義、5ページ

— パレン
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仮定及びこれら二つのカーネルのカーネル行列であるとそれぞれ、それらはPSDです。を定義しそれがカーネルでもあることを証明したいとします。これは、対応するカーネル行列がPSDであることを証明するのと同じです。 $K1$ $K2$ $k_1(x,y)$ $k_2(x,y)$ $k(x,y) = k_1(x,y)k_2(x,y)$ $K = K1 \circ K2$

$K_3 = K1 \otimes K2$ はPSDです（2つのPSDのクロネッカー積はPSDです）。
$K$ は主部分行列で、したがってPSDです（PSDの主部分行列はPSDです）。 $K_3$

— セヤオ・チャン
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