指数確率変数の条件付き期待

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ランダム変数（ $X\sim \text{Exp}(\lambda)$ ）はと等しくなければなりませんこれは、メモリーレスプロパティによってのと同様であるが、右にシフトし。 $\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}$ $\mathbb{E}[X|X > x]$ $x + \mathbb{E}[X]$ $X|X > x$ $X$ $x$

ただし、具体的な証拠を提供するためにメモリレスプロパティを使用するのに苦労しています。どんな助けも大歓迎です。

ありがとう。

random-variable exponential conditional-expectation

— ミュンヘン
ソース

ヒント：

"だけ右にシフトに対応する数学的表現であり、したがって"

f_{X | X > a} (x) = f_{X} (x - a)

$f_{X|X > a}(x) = f_X(x-a)$

a

$a$

次に、右側の積分で変数を変更します。

E [X ∣ X > a] = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X ∣ X > a} (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X} (x - a) d x .

$E[X\mid X>a] = \int_{-\infty}^\infty xf_{X\mid X>a}(x)\,\mathrm dx= \int_{-\infty}^\infty xf_X(x-a)\,\mathrm dx.$

— ディリップサルワテ

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なお、

は、「

」より下で切り捨てられた切り捨てられた分布です。特に、シフトされた指数分布であり、シフトされた指数にはメモリレスプロパティがありません。

X | X > x

$X|X>x$

x

$x$

— 西暦

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$\ldots$ メモリレスプロパティにより、 $X|X > x$ の分布のと同様である $X$ が、右にシフトし $x$ 。

ましょう $f_X(t)$ の確率密度関数（PDF）を示す $X$ 。そして、何が正常な状態のための数学的な製剤は、 $-$ つまり、条件付きのPDF $X$ ことを考えると $\{X > x\}$ と同様である $X$ が、右シフト $x$ $-$ すなわち $f_{X \mid X > x}(t) = f_X(t-x)$ 。したがって、 $E[X\mid X > x]$ 、期待値の $X$ と仮定 $\{X > x\}$ であり、

\begin{aligned} E [X ∣ X > x] & = \int_{- \infty}^{\infty} t f_{X ∣ X > x} (t) d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} t f_{X} (t - x) d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} (x + u) f_{X} (u) d u & on substituting u = t - x \\ = x + E [X] . \end{aligned}

$\begin{align} E[X\mid X > x] &= \int_{-\infty}^\infty t f_{X \mid X > x}(t)\,\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^\infty t f_X(t-x)\,\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^\infty (x+u) f_X(u)\,\mathrm du &\scriptstyle{\text{on substituting}~u = t-x}\\ &= x + E[X]. \end{align}$ 私たちは、明示的に密度を使用していないことを注意

X

$X$ 計算して、さらに統合する必要はありません明示的に我々は単にそれを覚えていれば（I）PDF下の領域である

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$1$ と、（ii）Aの期待値の定義をpdfの観点からの連続ランダム変数。

— ディリップ・サルワテ
ソース

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以下のために、イベントは、確率有する。したがって、 $x>0$ $\{X>x\}$ $P\{X>x\}=1-F_X(x)=e^{-\lambda x} > 0$

E [X ∣ X > x] = \frac{E [X I_{{X > x}}]}{P {X > x}},

$\newcommand{\E}{\mathbb{E}} \E[X\mid X> x] = \frac{\E[X\,I_{\{X>x\}}]}{P\{X>x\}} \, ,$

E [X I_{{X > x}}] = \int_{x}^{\infty} t λ e^{- λ t} d t = (*)

$\E[X\,I_{\{X>x\}}] = \int_x^\infty t\,\lambda\,e^{-\lambda t}\,dt = (*)$

(*) = - λ \int_{x}^{\infty} \frac{d}{d λ} (e^{- λ t}) d t = - λ \frac{d}{d λ} \int_{x}^{\infty} e^{- λ t} d t

$(*) = -\lambda \int_x^\infty \frac{d}{d\lambda}(e^{-\lambda t}) \,dt = -\lambda \frac{d}{d\lambda} \int_x^\infty e^{-\lambda t} \,dt$

= - λ \frac{d}{d λ} (\frac{1}{λ} \int_{x}^{\infty} λ e^{- λ t} d t) = - λ \frac{d}{d λ} (\frac{1}{λ} (1 - F_{X} (x)))

$= -\lambda \frac{d}{d\lambda} \left(\frac{1}{\lambda} \int_x^\infty \lambda\,e^{-\lambda t} \,dt\right) = -\lambda\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{1}{\lambda}\left(1 - F_X(x)\right)\right)$

= - λ \frac{d}{d λ} (\frac{e^{- λ x}}{λ}) = (\frac{1}{λ} + x) e^{- λ x},

$= -\lambda\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{e^{-\lambda x}}{\lambda}\right) = \left(\frac{1}{\lambda}+x\right)e^{-\lambda x} \, ,$ which gives the desired result

E [X ∣ X > x] = \frac{1}{λ} + x = E [X] + x .

$\E[X\mid X>x] = \frac{1}{\lambda}+x = \E[X] + x \, .$

— Zen
ソース

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Although the use of Feynman's trick is interesting, why not just integrate by parts to get

\int_{x}^{\infty} t λ e^{- λ t} d t = - t e^{- λ t} |_{x}^{\infty} + \int_{x}^{\infty} e^{- λ t} d t = (x + \frac{1}{λ}) e^{- λ x} ?

$\int_x^\infty t\lambda e^{-\lambda t}\,dt = -t e^{-\lambda t}\biggr |_x^\infty + \int_x^\infty e^{-\lambda t}\,dt = \left(x + \frac{1}{\lambda}\right)e^{-\lambda x}?$

— Dilip Sarwate