ロジット変換線形回帰、ロジスティック回帰、およびロジスティック混合モデルの違いは何ですか？

私には10人の生徒がいて、それぞれが20の数学の問題を解こうとしているとします。問題は（longdataで）正解または不正解としてスコアリングされ、各学生のパフォーマンスは（subjdataで）精度測定によって要約できます。以下のモデル1、2、および4は異なる結果を生成するように見えますが、同じことを行っていると理解しています。なぜ結果が異なるのですか？（参考のためにモデル3を含めました。）

library(lme4)

set.seed(1)
nsubjs=10
nprobs=20
subjdata = data.frame('subj'=rep(1:nsubjs),'iq'=rep(seq(80,120,10),nsubjs/5))
longdata = subjdata[rep(seq_len(nrow(subjdata)), each=nprobs), ]
longdata$correct = runif(nsubjs*nprobs)<pnorm(longdata$iq/50-1.4)
subjdata$acc = by(longdata$correct,longdata$subj,mean)
model1 = lm(logit(acc)~iq,subjdata)
model2 = glm(acc~iq,subjdata,family=gaussian(link='logit'))
model3 = glm(acc~iq,subjdata,family=binomial(link='logit'))
model4 = lmer(correct~iq+(1|subj),longdata,family=binomial(link='logit'))

最初のモデルは応答を変換し、2番目のモデルは期待値を変換するため、モデル1と2は異なります。

$$\newcommand{\logit}{\operatorname{logit}}\logit Y_i\sim\mathrm{N}\left(\mu_i,\sigma^2\right)$$ $$\mu_i=x_i'\beta$$ $$Y_i=\logit^{-1}\left(x_i'\beta+\varepsilon_i\right)$$ $$\newcommand{\logit}{\operatorname{logit}} Y_i\sim\mathrm{N}\left(\mu_i,\sigma^2\right)$$ $$\logit\mu_i=x_i\beta$$ $$Y_i=\logit^{-1}\left(x_i'\beta\right)+\varepsilon_i$$

したがって、分散構造は異なります。モデル2からのシミュレーションを想像してください。分散は期待値とは無関係です。＆応答の期待値は0と1の間ですが、応答はすべてではありません。

モデル4のような一般化線形混合モデルは、ランダムな効果が含まれているため、再び異なります。こことここを参照してください。

@Scortchiへの+1。非常に明確で簡潔な回答を提供してくれました。補足点をいくつか挙げたいと思います。まず、2番目のモデルでは、応答分布がガウス（別名、正規）であることを指定しています。各回答は正解または不正解として採点されるため、これは誤りでなければなりません。つまり、各回答はベルヌーイ裁判です。したがって、応答分布は二項です。このアイデアは、コードにも正確に反映されます。次に、応答分布を支配する確率は正規分布であるため、リンクはロジットではなくプロビットである必要があります。最後に、これが実際の状況である場合は、主題と質問の両方の変量効果を考慮する必要があります。これらはまったく同じである可能性が非常に低いためです。これらのデータを生成した方法、各人の唯一の関連する側面は彼らのIQです、明示的に説明しました。したがって、モデルのランダム効果によって説明する必要のあるものは何も残っていません。質問の難易度のランダムな変化はコードのデータ生成プロセスの一部ではないため、これは質問にも当てはまります。

ここでつまらないという意味ではありません。私はあなたの設定があなたの質問を容易にするように単に設計されていることを認識し、それはその目的を果たしました。@Scortchiは、最小限の手間で、非常に直接あなたの質問に対処することができました。ただし、これらのことを指摘します。これらは、対応する状況を理解するための追加の機会を提供し、コードがストーリーラインの一部に一致し他の一部に一致しないことに気付いていないためです。