異分散性と非定常性の概念的な違い

分散性と定常性の概念を区別するのに苦労しています。私が理解しているように、異分散性は部分母集団の変動性が異なり、非定常性は時間の経過とともに変化する平均/分散です。

これが正しい（単純化ではあるが）理解である場合、非定常性は単に、時間の経過に伴う不均一分散の特定のケースですか？

正確な定義を与えるために、を実数値の確率変数とします。$X_1, \ldots, X_n$

$X_1, \ldots, X_{n-1}$$X_2, \ldots, X_n$$X_i$$i = 1, \ldots, n$

$X_i$$i$

回帰分析では、通常、リグレッサの条件付き応答の分散を考慮し、異分散性を非一定の条件付き分散として定義します。

$X_k$$X_{k-1}, \ldots, X_1$

異分散性（特に条件付き異分散性）は、一般的に非定常性を意味しません。

異分散性（または等分散性）の重要性は、統計的観点から、統計的不確実性の評価（信頼区間の計算など）に関連しています。データが実際に不等分散性を示しているのに、等分散性の仮定の下で計算が実行される場合、結果の信頼区間は誤解を招く可能性があります。

すべての統計的特性が時間の起点に依存しない場合、時系列は定常的です。この要件が満たされない場合、時系列は定常的ではありません。

定常的な時系列でも、1つのサンプルレコードだけに基づいて説明することはできません。その統計的特性は、異なる時間起点でのサンプルレコードのアンサンブルを平均することによって分析する必要があります。

統計特性が個々のサンプルレコードと同じである場合、およびそれらが集団平均によって決定された場合、時系列はエルゴードです。

異分散時系列の統計特性は時間に依存するため、定常的ではなく、もちろんエルゴード的でもありません。単一のサンプルレコードに対して決定されたそのプロパティは、過去および将来の動作に拡張できません。

ちなみに、相関/回帰分析は、それらの間の依存性（コヒーレンス関数）が周波数依存であり、（多変量）確率的差分方程式（時間領域）または周波数応答関数によって特徴付けることができるため、時系列に適用できません。 （周波数領域）。

確率変数用に開発された回帰分析を時系列に拡張することは誤りです（たとえば、Bendat and Piersol、2010; Box et al。、2015を参照）。

静止度は3度です。弱い形式は平均を必要とし、分散は一定に保たれます。これは、3つの定常定義のうち、異分散性は平均に関係なく一定の分散を意味するため、異分散性よりも強い要件であることを意味します。

プロセスは異分散性を持つことができます。しかし、その平均が一定でない場合、プロセスは（弱く）定常的ではありません。

定常過程（ 'S'でそれを表示しましょう）は、等分散性（ 'H'でそれを表示しましょう）を意味します。したがって、S-> H.

当然その逆 も真実です。つまり、H '-> S'、つまり非等分散性は非定常性を意味します。

しかし、反転と否定は真実ではありません。言い換えると：

「非定常は非同等分散性を意味します」は真実ではありません。

「非等分散性である定常的なプロセスが存在する」は正しくありません。